Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-n，則a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：根據S_n與a_n的關系進行化簡，構造一個等比數列，即可得到結論．

解答： 解：∵S_n=2a_n-n，
∴當n=1時，a₁=2a₁-1，即a₁=1，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-（2a_n-1-n+1）=2a_n-2a_n-1-1，
即a_n-2a_n-1-1=0，
∴a_n=2a_n-1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1），
∴

an+1

an-1+1

=2，
即數列{a_n+1}是公比為2的等比數列，首項為a₁+1=1+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
故答案為：2ⁿ-1

點評：本題主要考查等比數列的應用，根據條件構造一個等比數列是解決本題的關鍵．