Question

【題目】如圖，四棱錐PABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來(lái)求解與平面所成角的正弦值．

試題解析：（Ⅰ）由已知得.

取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.

又，故，四邊形為平行四邊形，于是.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且

.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，

，，，，

， ， .

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

即

可取.

于是.