Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，當x＜0時，f（x）＞1，對任意實數(shù)x、y∈R，有?f（x+y）=f（x）·f（y）.?

（1）求證：f（0）=1，且當x＞0時，有0＜f（x）＜1.

（2）若數(shù)列｛a_n｝滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=，n∈N^*.

①求a_n；

②若不等式（1+）（1+）…（1+）≥k·，對于n∈N^*都成立，求k的最大值.

Answer 1

（1）證明:∵x、y∈R,有f（x+y）=f（x）·f（y）,

∴取y=0，x＜0,則f（x）=f（x）f（0）x＜0時f（x）＞1，∴f（0）=1.

又設(shè)x＞0，y=-x＜0，則1=f（0）=f（x）f（-x），

∴f（x）=.

而當-x＜0時，f（-x）＞1，∴當x＞0時，0＜f（x）＜1．                        

（2）解:①｛a_n｝中，a₁=f（0）=1，由f（a_n+1）=,得f（a_n+1）f（-a_n-2）=1=f（0），

∴f（a_n+1-a_n-2）=f（0）.                                                     

可證y=f（x）是R上的遞減函數(shù)，證明如下：

設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂=x₁+t（t＞0），f（t）∈（0，1）.

∴f（x₂）=f（x₁+t）=f（x₁）f（t）＜f（x₁），即?f（x₂）＜f（x₁）.∴f（x）是R上的減函數(shù).

∴?a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2.∴a_n=2n-1.                                       

②設(shè)g（n）=，得.

∴＜1.

∴＜1，即g（n）＜g（n+1）.

∴g（n）對n∈N^*單調(diào)遞增.而k≤恒成立，

即k≤g（n）對n∈N^*恒成立.∴k≤g（1）=，即k≤.∴k的最大值為.