Question

如圖，在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC，該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，ϕ∈（0，π）），x∈[-4，0]的圖象，圖象的最高點為B（-1，2）．邊界的中間部分為長1千米的直線段CD，且CD∥EF．游樂場的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓弧

DE

．
（1）求曲線段FGBC的函數(shù)表達式；
（2）曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米，現(xiàn)準備從入口G修一條筆直的景觀路到O，求景觀路GO長；
（3）如圖，在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)OMPQ，平行四邊形的一邊在海岸線EF上，一邊在半徑OD上，另外一個頂點P在圓弧

DE

上，且∠POE=θ，求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時θ的值．

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得A=2，T=12，代入點求ϕ，從而求解析式；
（2）令y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)=1求解x，從而求景觀路GO的長；
（3）作圖求平行四邊形的面積S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-

2 3

3

sinθ）2sinθ=

4 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

2 3

3

，θ∈（0，

π

3

）；從而求最值．

解答： 解：（1）由已知條件，得A=2，
又∵

T

4

=3 ，T=

2π

ω

=12 ，
∴ω=

π

6

，
又∵當x=-1時，
有y=2sin(-

π

6

+ϕ)=2
∴  ϕ=

2π

3

，
∴曲線段FBC的解析式為y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)  ，x∈[-4，0]．
（2）由y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)=1得，
x=6k+（-1）^k-4（k∈Z），
又∵x∈[-4，0]，
∴k=0，x=-3，
∴G（-3，1），OG=

10

；
∴景觀路GO長為

10

千米．
（3）如圖，

OC=

3

 ，CD=1 ，
∴  OD=2 ，∠COD=

π

6

，
作PP₁⊥x軸于P₁點，在Rt△OPP₁中，
PP₁=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，

OP

sin120°

=

OM

sin(60°-θ)

，
∴OM=

OPsin(60°-θ)

sin120°

=2cosθ-

2 3

3

sinθ，
S_OMPQ=OM•PP₁=（2cosθ-

2 3

3

sinθ）2sinθ=2sin2θ+

2 3

3

cos2θ-

2 3

3

=

4 3

3

sin（2θ+

π

6

）-

2 3

3

，θ∈（0，

π

3

）；
當2θ+

π

6

=

π

2

時，即θ=

π

6

時，
平行四邊形面積有最大值為

2 3

3

（平方千米）．

點評：本題考查了三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考查了學生的作圖能力，屬于中檔題．