集合A={x|x2-2ax+4a2-3=0},B={x|x2-x-2=0},C={x|x2+2x-8=0}.
(1)是否存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B?若存在,試求a的值,若不存在,說(shuō)明理由;
(2)若∅
?
A∩B,A∩C=∅,求a的值.
分析:(1)對(duì)于存在性問題,可先假設(shè)存在,即假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B,即A=B.再利用根與系數(shù)的關(guān)系,求出a的值,若出現(xiàn)矛盾,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在;否則存在.
(2)解方程得C={-4,2},根據(jù)題意:“∅
?
A∩B,A∩C=∅”,得2∉A,-1∈A,即可求出a的值.
解答:解:(1)假設(shè)存在存在實(shí)數(shù)a使A∩B=A∪B,即A=B.
由題意得B={x|x2-x-2=0}={-1,2},故-1,2是方程x2-2ax+4a2-3=0的兩個(gè)根,
-1+2=2a
-1×2=4a2-3
∴a=
1
2
,
(2)解方程x2+2x-8=0,得C={-4,2},∵∅
?
A∩B,A∩C=∅,∴2∉A,-1∈A,
即x=-1是方程x2-2ax+4a2-3=0的根,且x=2不是此方程的根,
將x=-1代入,得(-1)2+2a+4a2-3=0,
∴a=-1或a=
1
2

檢驗(yàn)知a=-1即為所求.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算、子集與真子集、集合的相等等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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