【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）若點(diǎn)A（x0 ， y0）是直線x﹣y﹣4=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作曲線C的切線，切點(diǎn)記為M，N．
①求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)；
②△AMN的面積S的最小值．

【答案】
（1）

解：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．

由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程：x2=4y


（2）

①證明：∵x2=4y，∴y′= ，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

曲線在點(diǎn)M的曲線方程為：y= x﹣y1，在點(diǎn)N處的曲線方程為：y= x﹣y2，

代入點(diǎn)A（x0，y0），可得直線MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，

∴直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P（2，4）．

②解：聯(lián)立 ，化為：x2﹣2x0x+4y0=0，

△= = 0，

∴x1+x2=2x0，x1x2=4x0﹣16．

∴|MN|= = ．

點(diǎn)A到直線MN的距離d= ．

∴S= d|MN|= ，

令t= = +12≥12，

則S≥ =12 ，當(dāng)且僅當(dāng)x0=2，y0=﹣2時(shí)，取等號(hào)．

∴△AMN的面積S的最小值為12


【解析】（1）動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)F（0，1），且與定直線l：y=﹣1相切．由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡C是拋物線：可得方程．（2）①x2=4y，可得y′= ，設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），曲線在點(diǎn)M的曲線方程為：y= x﹣y1 ， 在點(diǎn)N處的曲線方程為：y= x﹣y2 ， 代入點(diǎn)A（x0 ， y0），可得直線MN的方程：y= ，其中y0=x0﹣4，即x0（x﹣2）+2（4﹣y）=0，即可證明直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．
②聯(lián)立 ，化為：x2﹣2x0x+4y0=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|MN|= ．點(diǎn)A到直線MN的距離d= ．利用S= d|MN|，即可得出．

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