Question

（12分）（2010•安徽）已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；

（3）在橢圓E上是否存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)？若存在，請(qǐng)找出；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）2x﹣y﹣1=0；

（3）BC中點(diǎn)為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率，建立方程組，求得幾何量，即可得到橢圓E的方程；

（2）求得AF1方程、AF2方程，利用角平分線性質(zhì)，即可求得∠F1AF2的平分線所在直線l的方程；

（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，設(shè)出直線BC方程代入，求得BC中點(diǎn)代入直線2x﹣y﹣1=0上，即可得到結(jié)論．

【解析】
（1）設(shè)橢圓方程為

∵橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），離心率

∴，

∴a2=16，b2=12

∴橢圓方程E為：；

（2）F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），

∵A（2，3），

∴AF1方程為：3x﹣4y+6=0，AF2方程為：x=2

設(shè)角平分線上任意一點(diǎn)為P（x，y），則．

得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0

∵斜率為正，∴直線方程為2x﹣y﹣1=0；

（3）假設(shè)存在B（x1，y1）C（x2，y2）兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，∴

∴直線BC方程為代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，

∴BC中點(diǎn)為

代入直線2x﹣y﹣1=0上，得m=4．

∴BC中點(diǎn)為（2，3）與A重合，不成立，所以不存在滿足題設(shè)條件的相異的兩點(diǎn)．