Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）+f（1+x）=2，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，則曲線y=f（x）在x=0處的切線方程是x+y=0．

Answer 1

分析 求出x＜1時(shí)函數(shù)的解析式，再求出切線斜率，即可求出切線方程．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1-x）+f（1+x）=2，
∴函數(shù)f（x）關(guān)于（1，1）對(duì)稱(chēng)，
x＜1時(shí)，取點(diǎn)（x，y），關(guān)于（1，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2-x，2-y）代入當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=$\frac{x}{{e}^{x-2}}$，可得2-y=$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y=2-$\frac{2-x}{{e}^{-x}}$，
∴y′=$\frac{x-1}{{e}^{-x}}$，
x=0時(shí)，y′=-1，y=0，
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程是y-0=-（x-0），即x+y=0，
故答案為：x+y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求解，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．