Question

（2012•成都模擬）定義：若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)（x₀，y₀），總存在正實(shí)數(shù)r，使得集合B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，則稱A為一個(gè)開集，給出下列集合：
①{（x，y）|x²+y²=1}；      
②{（x，y|x+y+2＞0）}；
③{（x，y）||x+y|≤6}；     
④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}．
其中是開集的是

②④

．（請寫出所有符合條件的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)開集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案，：①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，以圓上的點(diǎn)為圓心正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓上，故不是開集，②是集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到直線的距離為d，取r=d，滿足條件，故是開集；③在曲線|x+y|=6任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開集；④該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為d，取r=d，則滿足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開集．

解答：解：①：A={（x，y）|x²+y²=1}表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，則在該圓上任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，均不滿足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故①不是開集；
②A={（x，y）|x+y+2＞0}平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到直線的距離為d，取r=d，則滿足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，
故該集合是開集；
③A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲線|x+y|=6任意取點(diǎn)（x₀，y₀），以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面，B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合不是開集；
④{(x，y)|0＜x2+(y-

2

)2＜1}表示以點(diǎn)（0，

2

） 為圓心，1為半徑除去圓心和圓周的圓面，在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)（x₀，y₀），則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為d，取r=d，則滿足B={(x，y)|

(x-x0)2+(y-y0)2

＜r}⊆A，故該集合是開集；
即是開集的只有：②④．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解，如果一個(gè)集合是開集，則該集合表示的區(qū)域應(yīng)該是不含邊界的平面區(qū)域．本題的難點(diǎn)在于對新定義的理解．