Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：x=-2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)p是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP
（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E 上動(dòng)點(diǎn)，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由于直線l：x=-2交x軸于點(diǎn)A，所以A（-2，0），由于P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP，可以設(shè)點(diǎn)P，由于滿足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相關(guān)點(diǎn)法可以求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）由題意及點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4（x+1），且已知T（1，-1），又H是E 上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O及點(diǎn)T都為定點(diǎn)，利用圖形即可求出．

解答 解：（1）如圖所示，
連接OM，則|PM|=|OM|，
∵∠MPO=∠AOP，
∴動(dòng)點(diǎn)M滿足MP⊥l或M在x的負(fù)半軸上，
設(shè)M（x，y）
①當(dāng)MP⊥l時(shí)，|MP|=|x+2|，
|OM|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，|x+2|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化簡(jiǎn)得y²=4x+4  （x≥-1）
②當(dāng)M在x的負(fù)半軸上時(shí)，y=0（x≤-1），
綜上所述，點(diǎn)M的軌跡E的方程為y²=4x+4（x≥-1）或y=0（x＜-1）．
（2）由題意畫出圖形如下：
∵由（1）知道動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程為：y²=4（x+1）．
是以（-1，0）為頂點(diǎn)，以O(shè)（0，0）為焦點(diǎn)，以x=-2為準(zhǔn)線的拋物線，
由H引直線HB垂直準(zhǔn)線x=-2與B點(diǎn)，則
利用拋物線的定義可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價(jià)于求折線|HB|+|HT|的最小值，
由圖可知當(dāng)由點(diǎn)T直接向準(zhǔn)線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故HO|+|HT|的最小值為3，且此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為$（{-\frac{3}{4}，-1}）$．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查了利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．