設(shè)直線(xiàn)l:y=3x-2與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的中點(diǎn)M在直線(xiàn)x+y=0上,則橢圓的離心率為( 。
A、
6
3
B、
2
2
C、
2
3
D、
3
3
分析:根據(jù)題意,設(shè)出A、B點(diǎn)及其中點(diǎn)的坐標(biāo),與中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線(xiàn)的斜率計(jì)算公式聯(lián)系,由點(diǎn)差法,可得
a2
b2
=3;結(jié)合橢圓的離心率的計(jì)算方法e=
1-
b2
a2
=
6
3
;代入a、b的關(guān)系可得答案.
解答:解:A(x1,y1),B(x2,y2),有KAB=
y1-y2
x1-x2
=3;
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,其坐標(biāo)為(m,n),則(x1+x2)=2m,(y1+y2)=2n;
又由弦AB的中點(diǎn)M在直線(xiàn)x+y=0上,即m+n=0,
A、B兩點(diǎn)在橢圓上,
y12
a2
+
x12
b2
=1,①
y22
a2
+
x22
b2
=1,②;
①-②可得,
1
a2
(y1+y2)(y1-y2)=-
1
b2
(x1+x2)(x1-x2);
化簡(jiǎn)可得:
a2
b2
=3;
則橢圓的離心率為e=
1-
b2
a2
=
6
3
;
故選A.
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合運(yùn)用,注意點(diǎn)差法的運(yùn)用,即設(shè)而不求的方法;一般用于已知斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)兩者之一或兩者都已知或未知,進(jìn)而求解求解其它參數(shù)(離心率)的情況.
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(2010•珠海二模)(文)在△ABC中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),BC邊長(zhǎng)為2,且BC在y軸上的區(qū)間[-3,3]上滑動(dòng).
(1)求△ABC外心的軌跡方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=3x+b與(1)的軌跡交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為d,求
|EF|d
的最大值.并求出此時(shí)b的值.

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(文)在△ABC中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),BC邊長(zhǎng)為2,且BC在y軸上的區(qū)間[-3,3]上滑動(dòng).
(1)求△ABC外心的軌跡方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=3x+b與(1)的軌跡交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為d,求的最大值.并求出此時(shí)b的值.

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(文)在△ABC中,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),BC邊長(zhǎng)為2,且BC在y軸上的區(qū)間[-3,3]上滑動(dòng).
(1)求△ABC外心的軌跡方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=3x+b與(1)的軌跡交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為d,求的最大值.并求出此時(shí)b的值.

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設(shè)直線(xiàn)l:y=3x-2與橢圓=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的中點(diǎn)M在直線(xiàn)x+y=0上,則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.

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