Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，有 2S_n=2．函數(shù)f（x）=x²+x，數(shù)列{b_n}的首項b₁=．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令求證：{c_n}是等比數(shù)列并求{c_n}通項公式；
（Ⅲ）令d_n=a_n•c_n，（n為正整數(shù)），求數(shù)列{d_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由 2S_n= ①
得2S_n+1= ②
由②-①，得 2a_n+1=，
即：（2分）
∴由于數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，
∴
即 ∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式是 =（4分）
（Ⅱ）由知，
所以，
有=，即c_n+1=2C_n（6分）
而=，
故{c_n}是以c₁=1為首項，公比為2的等比數(shù)列．
所以c_n=2^n-1（8分）
（Ⅲ）d_n=a_n•c_n==（n+1）2^n-2，
所以數(shù)列{d_n}的前n項和T_n=2•2^-1+3•2⁰+…+n•2^n-3+（n+1）•2^n-2…①．
2T_n=2•2+3•2¹+…+n•2^n-2+（n+1）•2^n-1…②．
①-②得-T_n=1+2+2²+…+2^n-2-（n+1）•2^n-1=1+-（n+1）•2^n-1=-n•2^n-1，
解得T_n=n•2^n-1（12分）
分析：（Ⅰ）利用 2S_n=2．推出a_n+1，a_n的關(guān)系式，說明數(shù)列是等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用，以及，推出{c_n}是等比數(shù)列，即可求{c_n}通項公式；
（Ⅲ）通過d_n=a_n•c_n，（n為正整數(shù)），求出d_n的表達式，利用錯位相減法法直接求解前n項和T_n．
點評：本題考查數(shù)列的求和，等差數(shù)列的通項公式，等差關(guān)系的確定，等比關(guān)系的確定，錯位相減法的應(yīng)用，考查計算能力．