【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

(2)恒成立,求的取值范圍;

(3)設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為,當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)()構(gòu)成曲線M.證明:任意過原點(diǎn)的直線,與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn).

【答案】(1) 的極大值為,無極小值;(2) ;(3) 證明見解析.

【解析】

1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,即可求出極值;

2恒成立,兩種解法:①分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為與新函數(shù)的最值關(guān)系;②轉(zhuǎn)化為,對(duì)分類討論求出,轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的不等式;

3)先確定出點(diǎn)(,)構(gòu)成曲線M,直線與曲線M均僅有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn),對(duì)分類討論,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,即可得證.

(1)當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

所以當(dāng)時(shí),的極大值為,無極小值;

(2)(法一),

∴由恒成立,得恒成立,

,

,則,

,故

∴在(0,+∞)單增,又,

,,,

,,

單減,),單增,

時(shí),取極小值即最小值,

法二:

由二次函數(shù)性質(zhì)可知,存在,使得,

,且當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,

由題意可知,

設(shè),則,即單調(diào)遞增.

的解集為(01],即

;

(3)(2)可知,

則曲線M的方程為,

由題意可知.對(duì)任意

證明:方程均有唯一解,

設(shè)

①當(dāng)時(shí),恒成立,

所以上單調(diào)遞增,

,

所以存在滿足時(shí),使得,

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增.所以為唯一解;

②當(dāng),即時(shí),

恒成立,所以上單調(diào)遞增,

,

∴存在使得

又∵單調(diào)遞增,所以為唯一解;

③當(dāng)時(shí),有兩解,不妨設(shè),

因?yàn)?/span>,所以,列表如下:

+

0

-

0

+

極大值

極小值

由表可知,當(dāng)時(shí),

的極大值為

,所以.

,

∴存在,使得,

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,所以為唯一解:

綜上,原命題得證.

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A. B. C. D.

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