Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形， 平面， ， 是上一點，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）連接，由線面垂直的性質定理可得，且，故平面， ，又，利用線面垂直的判斷定理可得平面.

（2）法1：由（1）知平面，即是直線與平面所成角，設，則， ， ，結合幾何關系計算可得，即直線與平面所成角的正弦值為.

法2：取為原點，直線， ， 分別為， ， 軸，建立坐標系，不妨設，結合(1)的結論可得平面得法向量，而，據此計算可得直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

（1）連接，由平面， 平面得，

又， ，

∴平面，得，

又， ，

∴平面.

（2）法1：由（1）知平面，即是直線與平面所成角，易證，而，

不妨設，則， ， ，

在中，由射影定理得，

可得，所以，

故直線與平面所成角的正弦值為.

法2：取為原點，直線， ， 分別為， ， 軸，建立坐標系，不妨設，則， ， ，

由（1）知平面得法向量，而，

∴ .

故直線與平面所成角的正弦值為.