Question

若滿足不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

的x的值滿足不等式x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用絕對值不等式的解集，化簡可得2a≤x≤a²+1，可令f（x）=x²-3（a+1）x+2（3a+1），由題意可得，f（2a）≤0，且f（a²+1）≤0，運用因式分解和二次不等式的解法，即可得到取值范圍．

解答： 解：不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

即為

(a+1)2

2

-

(a-1)2

2

≤x≤

(a+1)2

2

+

(a-1)2

2

即有2a≤x≤a²+1，
可令f（x）=x²-3（a+1）x+2（3a+1），
即f（x）=（x-2）（x-（3a+1）），
由題意可得，f（2a）≤0，且f（a²+1）≤0，
即有2（a-1）（-a-1）≤0且（a²-1）（a²-3a）≤0，
即有

a≥1或a≤-1 a(a-1)(a+1)(a-3)≤0

即為

a≥1 a-3≤0

或

a≤-1 a∈∅

，
即有1≤a≤3．
則a的取值范圍為[1，3]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查二次不等式和高次不等式的解法，考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．