Question

4．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁＞0且$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$，則S_n為非負值的最大n值為20．

Answer 1

分析 設出等差數列的公差d，由$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$得到首項和公差的關系，代入等差數列的通項公式，由S_n≥0求出n的范圍，再根據n為正整數求得n的值．

解答 解：設等差數列的公差為d，由$\frac{{a}_{6}}{{a}_{5}}$=$\frac{9}{11}$，
得$\frac{{a}_{1}+5d}{{a}_{1}+4d}$=$\frac{9}{11}$，
即2a₁+19d=0，解得d=-$\frac{2{a}_{1}}{19}$，
所以S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$×（-$\frac{2{a}_{1}}{19}$）≥0，
整理，得：
S_n=na₁•$\frac{20-n}{19}$≥0．
因為a₁＞0，
所以20-n≥0即n≤20，
故S_n為非負值的最大n值為20．
故答案是：20．

點評 本題考查等差數列的前n項和，考查了不等式的解法，是基礎題．