18.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面B1CD;
(2)求二面角B-B1C-D的正弦值.

分析 (1)連接BC1交B1C于點(diǎn)E,E為BC1的中點(diǎn),由為AB的中點(diǎn),則AC1∥DE,又AC1?平面B1CD,DE?平面B1CD,AC1∥平面B1CD;
(2)AC=BC,D為AB的中點(diǎn),CD⊥AB,平面ABC⊥平面ABB1A1,可知平面B1CD⊥平面B1BD,過點(diǎn)B作BH⊥B1D,垂足為H,則BH⊥平面B1CD,B1C⊥BE,B1C⊥EH,
∠BEH為二面角B-B1C-D的平面角,Rt△BHE中,BE=$\sqrt{2}$,BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

解答 解:(1)證明:如圖,連接BC1交B1C于點(diǎn)E,
則E為BC1的中點(diǎn).
∵D為AB的中點(diǎn),∴在△ABC1中,AC1∥DE,
又AC1?平面B1CD,DE?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD
(2)∵AC=BC,D為AB的中點(diǎn),
∴CD⊥AB,
又平面ABC⊥平面ABB1A1,
∴CD⊥平面ABB1A1
∴平面B1CD⊥平面B1BD,
過點(diǎn)B作BH⊥B1D,垂足為H,則BH⊥平面B1CD,
連接EH,
∵B1C⊥BE,B1C⊥EH,
∴∠BEH為二面角B-B1C-D的平面角.
在Rt△BHE中,BE=$\sqrt{2}$,BH=$\frac{B{B}_{1}•BD}{{B}_{1}D}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$,
則sin∠BEH=$\frac{BH}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
即二面角B-B1C-D的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面平行的判定,用空間向量求平面間的夾角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,屬于中檔題.

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