Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是線段EF的中點．

（1）求證AM∥平面BDE；
（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；
（3）試在線段AC上一點P，使得PF與CD所成的角是60°．

Answer 1

【答案】
（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)AC∩BD=N，連接NE，

則點N、E的坐標(biāo)分別是 、（0，0，1），

∴ = ，

又點A、M的坐標(biāo)分別是

、

∴ =

∴ = 且NE與AM不共線，

∴NE∥AM

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDF

（2）解：∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴ 為平面DAF的法向量

∵ = =0，

∴ = =0得 ， ∴NE為平面BDF的法向量

∴cos＜ ＞=

∴ 的夾角是60°

即所求二面角A﹣DF﹣B的大小是60°

（3）解：設(shè)P（x，x，0）， ， ，則

cos =| |，解得 或 （舍去）

所以當(dāng)點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°

【解析】（I）以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，進而求出直線AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得這兩個向量垂直，即AM∥平面BDE；（2）求出平面ADF與平面BDF的法向量，利用向量夾角公式求出夾角，即可得到二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°，我們設(shè)出點P的坐標(biāo)，并由此求出直線PF與CD的方向向量，再根據(jù)PF與CD所成的角是60°構(gòu)造方程組，解方程即可得到結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用向量語言表述線線的垂直、平行關(guān)系和用空間向量求直線間的夾角、距離的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明∥，只需證明∥，即;則要證明，只需證明，即；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．