Question

已知點P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，以P為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F₂，且

OP

•

OF2

=2，tan∠OPF2=

2

，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點M（-1，0），設Q是橢圓C上的一點，過Q、M兩點的直線l交y軸于點N，若

NQ

=2

QM

，求直線l的方程；
（Ⅲ）作直線l₁與橢圓D：

x2

a2

+

2y2

b2

=1交于不同的兩點S，T，其中S點的坐標為（-2，0），若點G（0，t）是線段ST垂直平分線上一點，且滿足

GS

•

GT

=4，求實數(shù)t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出PF₂⊥OF₂，設r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，由

OP

•

OF2

=2，tan∠OPF2=

c

r

=

2

，求出c=

2

，r=1，再由點P(±

2

，1)在橢圓，求出a²=4，b²=2，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x+1），由N（0，k），Q（x₁，y₁），

NQ

=2

QM

，能求出直線l的方程．
（Ⅲ）由題意知橢圓D：

x2

4

+y2=1，設直線l₁的方程為y=k（x+2），把它代入橢圓D的方程得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，利用韋達定理能求出滿足條件的實數(shù)t的值．

解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）由題意知，在△OPF₂中，PF₂⊥OF₂，
由tan∠OPF2=

2

，得：cos∠POF2=

6

3

，
設r為圓P的半徑，c為橢圓的半焦距，
∵

OP

•

OF2

=2，∴

c2+r2

•c•

6

3

=2，
又，tan∠OPF2=

c

r

=

2

，解得：c=

2

，r=1，
∴點P的坐標為(±

2

，1)，…（2分）
∵點P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，∴

(± 2 )2

a2

+

1

b2

=1，
又a²-b²=c²=2，解得：a²=4，b²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，
由題意知直線l的斜率存在，故設其斜率為k，
則其方程為y=k（x+1），N（0，k），
設Q（x₁，y₁），∵

NQ

=2

QM

，
∴（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），
∴x1=-

2

3

，y1=

k

3

，…（7分）
又∵Q是橢圓C上的一點，∴

(- 2 3 )2

4

+

( k 3 )2

2

=1，
解得k=±4，
∴直線l的方程為4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）
（Ⅲ）由題意知橢圓D：

x2

4

+y2=1，
由S（-2，0），設T（x₁，y₁），
根據(jù)題意可知直線l₁的斜率存在，
設直線斜率為k，則直線l₁的方程為y=k（x+2），
把它代入橢圓D的方程，消去y，
整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，
由韋達定理得-2+x1=-

16k2

1+4k2

，
則x1=

2-8k2

1+4k2

，y₁=k（x₁+2）=

4k

1+4k2

，
所以線段ST的中點坐標為(-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)，
（1）當k=0時，則有T（2，0），線段ST垂直平分線為y軸，
∴

GS

=(-2，-t)，

GT

=(2，-t)，
由

GS

•

GT

=-4+t2=4，解得：t=±2

2

．…（11分）
（2）當k≠0時，則線段ST垂直平分線的方程為y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

），
∵點G（0，t）是線段ST垂直平分線的一點，
令x=0，得：t=-

6k

1+4k2

，
∴

GS

=(-2，-t)，

GT

=(x1，y1-t)，
由

GS

•

GT

=-2x1-t(y1-t)=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，解得：k=±

14

7

，
代入t=-

6k

1+4k2

，解得：t=±

2 14

5

，
綜上，滿足條件的實數(shù)t的值為t=±2

2

或t=±

2 14

5

．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程、直線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．