Question

7．已知F（1，0），過點A（-1，t）作y軸的垂線，與線段AF的垂直平方分線交于點M，點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）自直線y=2x+3上的動點N作曲線E的兩條切線，兩切點分別為P，Q，求證：直線PQ經過定點．

Answer 1

分析 （I）由中垂線的性質可知MF=MA，故而E為以F為焦點的拋物線；
（II）設N（x₀，y₀），過N點的直線方程為x=m（y-y₀）+x₀，聯(lián)立拋物線方程，令△=0得出切點P，Q坐標及m₁，m₂的關系，代入兩點式方程化簡即可得出直線PQ的定點坐標．

解答 解：（I）∵M在AF的中垂線上，∴|MA|=|MF|，
∵M在直線y=t上，∴|MA|等于M到直線x=-1的距離．
∴M的軌跡為以點F（1，0）為焦點，以x=-1為準線的拋物線．
∴曲線E的方程為y²=4x．
（II）設N（x₀，y₀），過N的切線方程為x=m（y-y₀）+x₀，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=m（y-{y}_{0}）+{x}_{0}}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my+4my₀-4x₀=0．
∵直線與拋物線相切，∴△=16m²-16my₀+16x₀=0，
即m²-my₀+x₀=0．
∴m₁+m₂=y₀，m₁•m₂=x₀．
∴方程組的解為y=2m，x=m²．
設P（m₁²，2m₁），Q（m₂²，2m₂）．
則直線PQ的方程為：$\frac{y-2{m}_{1}}{2{m}_{2}-2{m}_{1}}$=$\frac{x-{{m}_{1}}^{2}}{{{m}_{2}}^{2}-{{m}_{1}}^{2}}$，
∴（m₁+m₂）（y-2m₁）-2（x-m₁²）=0．
即（m₁+m₂）y-2m₁m₂-2x=0．∴y₀y-2x₀-2x=0．
∵N（x₀，y₀）在直線y=2x+3上，∴y₀=2x₀+3．
∴直線PQ方程為2x₀y+3y-2x₀-2x=0．
∴當y=1時，x=$\frac{3}{2}$．
∴直線PQ過定點（$\frac{3}{2}$，1）．

點評 本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．