Question

【題目】如圖，ABC為一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，為了重建草坪，設(shè)計(jì)師準(zhǔn)備了兩套方案：
方案一：擴(kuò)大為一個(gè)直角三角形，其中斜邊DE過(guò)點(diǎn)B，且與AC平行，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C；
方案二：擴(kuò)大為一個(gè)等邊三角形，其中DE過(guò)點(diǎn)B，DF過(guò)點(diǎn)A，EF過(guò)點(diǎn)C．
（1）求方案一中三角形DEF面積S1的最小值；
（2）求方案二中三角形DEF面積S2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈（0， ），

則 ，

因?yàn)镈E∥AC，所以∠E=α， ，

且 ，即 ，

解得 ，

所以 ，

所以當(dāng)sin2α=1，即α=45°時(shí)，S1有最小值

（2）解：在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈（0， ），則 ，

解得 ，

三角形CBE中，有 ，解得 ，

則等邊三角形的邊長(zhǎng)為

所以邊長(zhǎng)的最大值為 ，所以面積S2的最大值為

【解析】（1）在方案一：在三角形AFC中，設(shè)∠ACF=α，α∈（0， ），表示出三角形DEF面積S1 ， 利用基本不等式求出最小值；（2）在方案二：在三角形DBA中，設(shè)∠DBA=β，β∈（0， ），表示出三角形DEF面積S1 ， 利用輔助角公式求出最小值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，需要了解用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”才能得出正確答案．