已知=(0,-2),=(0,2),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).直線(xiàn)l:y=-2,動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離為d,且d=||.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)直線(xiàn)m:y=x+1(k>0)與點(diǎn)P的軌跡交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)·≥17時(shí),求直線(xiàn)m的傾斜角α的范圍;

(3)設(shè)直線(xiàn)h與點(diǎn)P的軌跡交于C,D兩點(diǎn),若·=-12,那么直線(xiàn)h一定過(guò)B點(diǎn)嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

解:(1)由題意知,動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離與到定點(diǎn)B的距離相等,所以P的軌跡是以B為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn),其軌跡方程為x2=8y.

(2)由消去y,得x2-8x-8=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),

Δ=64k+32>0,k>,x1+x2=8,x1x2=-8,y1+y2=x1+1+kx2+1=8k+2,y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=

1,·=x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4=16k+1≥17,k≥1

因?yàn)閠anα≥1且0≤α<180°

所以≤α<.所以直線(xiàn) m的傾斜角的范圍為{α|≤α<}.

(3)設(shè)h:y=nx+b,代入x2=8y中,得x2-8nx-8b=0.設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4).x3+x4=8n,x3x4=-8b,y3+y4=8n2+2b,y3·y4=b2,

·=x3x4+y3y4=b2-8b=-12,得b=2或b=6.此時(shí)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,2)或(0,6),故直線(xiàn)不一定過(guò)B點(diǎn).

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5
13
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5
,則cos2α=
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65
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