Question

若函數(shù)f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A．[0，

  1

  3

  )
• B．[

  1

  2

  ，+∞)
• C．（0，1）
• D．(0，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，求出x∈（-1，0）時(shí)，f（x）的解析式，由在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，
轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接的結(jié)論．

解答：解：函數(shù)f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）時(shí)，f（x）+1=

1

f(x+1)

=

1

x+1

，f（x）=

1

x+1

-1．
因?yàn)間（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以y=f（x）與y=mx+m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可得，當(dāng)0＜m≤

1

2

時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故選 D．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力，屬于中檔題．