設(shè)動點P到兩定點F₁(－l，0)和F₂(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠F₁PF₂＝2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ＝λ．

(1)證明：動點P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；

(2)如圖，過點F₂的直線與雙曲線C的右支交于A、B兩點．問：是否存在λ，使△F₁AB是以點B為直角定點的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

已知函數(shù)在區(qū)間[－1，1)，(1，3]內(nèi)各有一個極值點．

(Ⅰ)求a²－4b的最大值；

(Ⅱ)當(dāng)a²－4b＝8時，設(shè)函數(shù)y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線為l，若在點A處穿過y＝f(x)的圖象(即動點在點A附近沿曲線y＝f(x)運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè))，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．

如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A₁處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B₁處，此時兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A₁處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B₁處，此時兩船相距10海里，問乙船每小時航行多少海里？

已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₃·a₄＝117，a₂＋a₅＝22．

①求通項a_n．

②若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b_n＝，求非零常數(shù)c．

③若{b_n}的前n項和為T_n，求證：2T_n－3b_n－1＞．

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0．{a_n}中的部分項組成下列數(shù)列，a_k1，a_k2，…a_kn恰為等比數(shù)列，其中k₁＝1，k₂=5，k₃＝17．

(1)求k_n．

(2)求k₁＋k₂＋…＋k_n．

雙曲線的中心是原點O，它的虛軸長為，相應(yīng)于焦點F(c，0)(c＞0)的準(zhǔn)線l與x軸交于點A，且|OF|＝3|OA|．過點F的直線與雙曲線交于P、Q兩點．

(Ⅰ)求雙曲線的方程及離心率；

(Ⅱ)若，求直線PQ的方程．

已知雙曲線，B是右頂點，F(xiàn)是右焦點，點A在x正半軸上，且滿足成等比數(shù)列．過F作雙曲線C在一三象限的漸近線的垂線l，垂足為P．

(1)求證：；

(2)若l與雙曲線C的左右兩支分別相交于點D，E，求雙曲線C的離心率e的取值范圍．

已知：＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－．求cos2α和cos2β的值．