設(shè){a_n}是一個公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，它的前10項(xiàng)和S₁₀＝110且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．

(1)證明a₁＝d；

(2)求公差d的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

是否存在一個等比數(shù)列{a_n}，使其滿足下列三個條件：(1)a₁＋a₆＝11且a₃a₄＝；(2)a_n+1＞a_n(n∈N₊)；(3)至少存在一個m(m∈N₊，m＞4)，使依次成等差數(shù)列．若存在，請寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．

某廠生產(chǎn)微機(jī)，原計劃第一季度每月增加臺數(shù)相同，在生產(chǎn)過程中實(shí)際上二月份比原計劃多生產(chǎn)10臺，三月份比原計劃多生產(chǎn)25臺，這樣三個月產(chǎn)量成等比數(shù)列．而第3個月的產(chǎn)量是原計劃第一季度總產(chǎn)量的一半少10臺．問該廠第一季度實(shí)際生產(chǎn)微機(jī)多少臺？

若{a_n}是公差d≠0的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n，{b_n}是公比q≠1的等比數(shù)列，已知a₁＝b₁＝1且a₂＝b₂，a₆＝b₃．

(1)求d和q；

(2)是否存在常數(shù)a，b使對于一切n∈N₊，都有a_n＝log_ab_n＋b成立，若存在則求之，不存在說明理由．

已知a＞0，a≠1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列．令b_n＝a_nlga_n(n∈N₊)，問是否存在a，對任意n∈N₊，數(shù)列{b_n}中每一項(xiàng)總小于它后面的一項(xiàng)？若存在，求出a的范圍．

已知{a_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n＝[lga₁＋lga₂＋…＋lga＋lg(ka_n)]．問是否存在正數(shù)k，使得{b_n}成等差數(shù)列？若存在求出k的值；若不存在請說明理由．

已知{x_n}為各項(xiàng)不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列，{y_n}滿足y_n·＝2(a＞0且a≠1)，設(shè)y₄＝17，y₇＝11．

(1)數(shù)列{y_n}的前多少項(xiàng)和最大？最大值是多少？

(2)是否存在正整數(shù)M，使當(dāng)n＞M時，x_n＞1恒成立？若存在，求M的取值范圍；若不存在，則說明理由．

設(shè)二次方程a_nx²－a_n+1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有兩根α和β，且滿足6α－2αβ＋6β＝3．

(1)試用a_n表示a_n+1；

(2)求證：是等比數(shù)列；

(3)當(dāng)a₁＝時，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

在數(shù)列{a_n}中，a₁＝1，a_n+1＝a_n＋1，求通項(xiàng)a_n．

李政道博士1979年訪問中國科技大學(xué)，給少年班同學(xué)提出一個“猴子分蘋果”的趣題：海灘邊五個猴子分一堆蘋果，第一個猴子把蘋果分成五等份，還多一個，把多的一個扔到海里，取走一份；第二個猴子把剩下的分成五等份，也多一個，把多的一個扔到海里，取走一份，以后的3只猴子都是如此辦理，問最初至少有多少個蘋果？最后至少剩下多少個蘋果？