在極坐標系中，過曲線L：ρsin²＝2acos(a＞0)外的一點A(2，π＋)(其中tan＝2，為銳角)作平行于＝(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．

(Ⅰ)寫出曲線L和直線l的普通方程(以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系)；

(Ⅱ)若|AB|，|BC|，|AC|成等比數列，求a的值．

變換T₁是逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是M₁；變換T₂對應的變換矩陣是M₂＝．

(Ⅰ)求點P(2，1)在變換T₁作用下的點的坐標；

(Ⅱ)求函數y＝x²的圖象依次在變換T₁，T₂作用下所得曲線的方程．

已知動直線l與橢圓交于P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)兩個不同點，且△OPQ的面積，其中O為坐標原點．

(Ⅰ)證明：x＋x和y＋y均為定值；

(Ⅱ)設線段PQ的中點為M，求OM·PQ的最大值；

(Ⅲ)橢圓C上是否存在點D，E，G，使得？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．

已知a，b是實數，函數f(x)＝x³＋ax，g(x)＝x²＋bx，(x)和(x)是f(x)，g(x)的導函數，若(x)(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調性一致

(Ⅰ)設a＞0，若函數f(x)和g(x)在區(qū)間[－1，＋∞)上單調性一致，求實數b的取值范圍；

(Ⅱ)設a＜0，且a≠b，若函數f(x)和g(x)在以a，b為端點的開區(qū)間上單調性一致，求|a－b|的最大值．

某市環(huán)境研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進行調查研究后，發(fā)現一天中環(huán)境綜合污染指數f(x)與時間x(小時)的關系為，x∈[0，24]，其中a為與氣象有關的參數，且a∈[0，]．若用每天f(x)的最大值作為當天的綜合污染指數，并記作M(a)．

(Ⅰ)令，x∈[0，24]，求t的取值范圍；

(Ⅱ)求函數M(a)；

(Ⅲ)為加強對環(huán)境污染的整治，市政府規(guī)定每天的綜合環(huán)境污染指數不得超過2，試問目前市中心的綜合污染指數是多少？是否超標？

數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁＝t，a_n+1＝2S_n＋1(n∈N^*)．

(Ⅰ)當t為何值時，數列{a_n}是等比數列；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，若等差數列{b_n}的前n項和T_n有最大值，且T₃＝15，又a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃成等比數列，求T_n．

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點，PA＝PD＝AD＝2．

(Ⅰ)求證：AD⊥平面PQB；

(Ⅱ)點M在線段PC上，PM＝tPC，試確定t的值，使PA∥平面MQB；

已知函數．

(Ⅰ)求其定義域和單調遞增區(qū)間；

(Ⅱ)若，求sin2α的值．

已知函數(a為常數，a＞0)．

(Ⅰ)若是函數f(x)的一個極值點，求a的值；

(Ⅱ)求證：當0＜a≤2時，f(x)在上是增函數；

(Ⅲ)若對任意的a∈(1，2)，總存在，使不等式f(x₀)＞m(1－a²)成立，求實數m的取值范圍．

在平面直角坐標系內已知兩點A(－1，0)、B(1，0)，若將動點P(x，y)的橫坐標保持不變，縱坐標擴大到原來的倍后得到點Q(x，y)，且滿足·＝1．

(Ⅰ)求動點P所在曲線C的方程；

(Ⅱ)過點B作斜率為的直線l交曲線C于M、N兩點，且＋＋＝，又點H關于原點O的對稱點為點G，試問M、G、N、H四點是否共圓？若共圓，求出圓心坐標和半徑；若不共圓，請說明理由．