已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是軸、
軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足．若點(diǎn)滿(mǎn)足．
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)、與直線(xiàn)分別交
于點(diǎn)、（為坐標(biāo)原點(diǎn)），試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，
請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)為且過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA₁，PA₂分別交軸于點(diǎn)N，M，若直線(xiàn)OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T．
證明：線(xiàn)段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

如圖，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，過(guò)作與軸垂直的直線(xiàn)與橢圓交于，而與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)和，
設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)（，）．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該橢圓交于、兩點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)，，的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．

在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為 (為參數(shù)) 是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).
(1)求的方程；
(2)在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線(xiàn)與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.

已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，線(xiàn)段與y軸的交點(diǎn)M滿(mǎn)足
(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ) 圓O是以為直徑的圓，直線(xiàn)：與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn),當(dāng),且滿(mǎn)足時(shí)，求直線(xiàn)的方程。

已知過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于（）兩點(diǎn)，且．
（1）求該拋物線(xiàn)的方程；
（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若，求的值．

已知橢圓的離心率為，

軸被拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).
（1）求的方程；
（2）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)
與相交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)分別與相交于.   
①證明：為定值;
②記的面積為，試把表示成的函數(shù)，并求的最大值.

（1）設(shè)橢圓：與雙曲線(xiàn)：有相同的焦點(diǎn)，是橢圓與雙曲線(xiàn)的公共點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為，求橢圓的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱(chēng)軸的兩段圓錐曲線(xiàn)弧合成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“盾圓”.
（2）如圖，已知“盾圓”的方程為.設(shè)“盾圓”上的任意一點(diǎn)到的距離為，到直線(xiàn)的距離為，求證：為定值；
 
（3）由拋物線(xiàn)弧：（）與第（1）小題橢圓弧：（）所合成的封閉曲線(xiàn)為“盾圓”.設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與“盾圓”交于兩點(diǎn)，，且（），試用表示；并求的取值范圍.

已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且它的離心率．直線(xiàn)
與橢圓交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值；
（Ⅲ）若直線(xiàn)與圓相切，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．