求由拋物線(xiàn)與它在點(diǎn)和點(diǎn)的切線(xiàn)所圍成的區(qū)域的面積。

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且它的離心率.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）與圓相切的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AP、PB與直線(xiàn)l：y＝－2分別交于點(diǎn)M、N.

（1）設(shè)直線(xiàn)AP、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁·k₂為定值；
（2）求線(xiàn)段MN長(zhǎng)的最小值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

直角坐標(biāo)平面上，為原點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，，. 過(guò)點(diǎn)作軸于，過(guò)作軸于點(diǎn)，. 記點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)，
點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩個(gè)不同的點(diǎn)、（點(diǎn)在與之間）.
（1）求曲線(xiàn)的方程；
（2）是否存在直線(xiàn)，使得，并說(shuō)明理由.

某同學(xué)用《幾何畫(huà)板》研究拋物線(xiàn)的性質(zhì)：打開(kāi)《幾何畫(huà)板》軟件，繪制某拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)上任意畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，度量點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖．

（Ⅰ）拖動(dòng)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，，試求拋物線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，構(gòu)造直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于不同兩點(diǎn)、，構(gòu)造直線(xiàn)、分別交準(zhǔn)線(xiàn)于、兩點(diǎn)，構(gòu)造直線(xiàn)、．經(jīng)觀察得：沿著拋物線(xiàn)，無(wú)論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)，恒有.請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線(xiàn)的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點(diǎn)”改變?yōu)槠渌�“定點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“與不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的正確命題；否則，說(shuō)明理由．

已知點(diǎn)M是圓C：上的一點(diǎn)，且軸，為垂足，點(diǎn)滿(mǎn)足,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)E．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線(xiàn)E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積S的最大值．

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)的最大值．

已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，求雙曲線(xiàn)的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)。

Δ兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，邊所在直線(xiàn)的斜率之積等于，求頂點(diǎn)的軌跡方程，并畫(huà)出草圖。

方程的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在上的橢圓 ，求的取值范圍