已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

+a，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（1）a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：當a＞0時，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g（x₁）＜f（x₂）成立．

計算：
（1）

2sin100°-cos70°

cos20°

；
（2）已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

已知正三棱柱內接于一個半徑為2的球，則正三棱柱的側面積取得最大值時，其底面邊長為．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點分別為A₁A₂，左、右頂點分別為B₁，B₂為坐標原點，若直線A₁B₂的斜率為-

1

2

，△A₁OB₂的斜邊上的中線長為

5

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上異于A₁，A₂，B₁，B₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

曲線C：x=

-y2-2y

與直線l：x-y-m=0有兩個交點，則實數(shù)m的取值范圍是．

以下命題正確的是．
①若a²+b²=8，則ab的最大值為4；
②若數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ+2n-1，則數(shù)列{a_n}的前n項和為2ⁿ⁺¹+n²-2；
③若x∈R，則x+

4

x-2

的最小值為6；
④已知數(shù)列{a_n}的遞推關系a₁=1，a_n=3a_n-1+2（n≥2，n∈N^*），則通項a_n=2•3ⁿ-1．
⑤已知

1≤x+y≤3 -1≤x-y≤1

則4x+2y的取值范圍是[0，12]．

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在[85，100]之間為體質優(yōu)秀；在[75，85）之間為體質良好；在[60，75）之間為體質合格；在[0，60）之間為體質不合格．現(xiàn)從某校高三年級的300名學生中隨機抽取30名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如圖：

9	1	3	5	6
8	0	1	1	2	2	3	3	3	4	4	5	6	6	7	7	9
7	0	5	6	6	7	9
6	4	5	8
5	6

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優(yōu)秀的學生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上30名學生體質健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質為優(yōu)秀和良好的學生中抽取5名學生，再從這5名學生中選出3人；
（�。┣笤谶x出的3名學生中至少有1名體質為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）求選出的3名學生中體質為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質為良好的人數(shù)的概率．

已知

1

5

≤k＜1，函數(shù)f（x）=|2^x-1|-k的零點分別為x₁，x₂（x₁＜x₂），函數(shù)g（x）=|2^x-1|-

k

2k+1

的零點分別為x₃，x₄（x₃＜x₄），則（x₄-x₃）+（x₂-x₁）的最小值為（　�。�

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，E、F分別為PC、BD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：面PAB⊥平面PDC．

從某校高三年級800名學生中隨機抽取50名測量身高，據(jù)測量，被抽取的學生的身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖：
（1）求出如圖中第七組所代表的矩形的縱坐標；
（2）試估計這所學校高三年級800名學生中身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為多少；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)？