等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足

AD

DB

=

CE

EA

=

1

2

（如圖1）．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁C（如圖1）．
（Ⅰ）求證：A₁D⊥平面BCED：
（Ⅱ）在線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)P，使直線(xiàn)PA₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為

3

2

？若存在，求出PB的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

某超市計(jì)劃在春節(jié)當(dāng)天從有抽獎(jiǎng)資格的顧客中設(shè)一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)：在一個(gè)不透明的口袋中裝入外形一樣號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的十個(gè)小球．活動(dòng)者一次從中摸出三個(gè)小球，三球號(hào)碼有且僅有兩個(gè)連號(hào)的為三等獎(jiǎng)；獎(jiǎng)金30元，三球號(hào)碼都成等差數(shù)列的為二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金60元；三球號(hào)碼分別為1，6，8為一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金240元；其余情況無(wú)獎(jiǎng)金．
（1）求顧客甲抽獎(jiǎng)一次所得獎(jiǎng)金ξ的分布列與期望；
（2）若顧客乙幸運(yùn)地先后獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求他得獎(jiǎng)次數(shù)η的方差是多少？

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

2

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．求證：∠PAF=∠QAF．

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=

1

2

AB，點(diǎn)E是棱AB上一點(diǎn)．且

AE

EB

=λ．
（1）證明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

，求λ的值．

已知直線(xiàn)x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AS，BS與直線(xiàn)l：x=4分別交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)直線(xiàn)AS，BS的斜率分別為k₁，k₂，求證k₁•k₂為定值；
（ⅱ）求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度的最小值．

如圖，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（Ⅰ）求證：PC⊥DE；
（Ⅱ）若直線(xiàn)AB與平面ADE所成角的正弦值為

2

3

，求PA的值．

已知函數(shù)f（x）=9^x-2•3^x+3k-1（k為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）在（-∞，log₃a]上的最小值（a為常數(shù)）；
（2）若方程f（x）=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

已知

a

=（3，-cos（ωx）），

b

=（sin（ωx），

3

），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．且f（

A

2

）=

3

，a=

3

b求角A、B、C的大�。�

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)為l．
（1）當(dāng)切線(xiàn)l的斜率為2時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：無(wú)論a取何值，函數(shù)f（x）的圖象恒在直線(xiàn)l的下方（點(diǎn)A除外）；
（3）已知點(diǎn)Q（x₀，f（x₀）），且當(dāng)x₀＞1時(shí)，直線(xiàn)QA的斜率恒小于2，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=12，∠ACB=30°，AB=6，則PB與平面ABC所成角的余弦值為．