已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，橢圓的四個頂點所圍成菱形的面積為8

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓C上，且對角線AC，BD均過坐標(biāo)原點O，若k_AC•k_BD=-

1

2

．
①求

OA

•

OB

的范圍；
②求四邊形ABCD的面積．

已知拋物線C：y=x²．過點M（1，2）的直線l交C于A，B兩點．拋物線C在點A處的切線與在點B處的切線交于點P．
（Ⅰ）若直線l的斜率為1，求|AB|；
（Ⅱ）求△PAB面積的最小值．

若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足2S_n=3a_n-1（n∈N^*），等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=3a₁，b₃=S₂+3．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=

bn

3an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

已知中心在原點的橢圓C的離心率e=

5

3

，一條準(zhǔn)線方程為

5

x-9=0，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以k（k＞0）為斜率的直線l與橢圓C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

25

74

，求k的取值范圍．

由于霧霾日趨嚴(yán)重，政府號召市民乘公交出行．但公交車的數(shù)量太多會造成資源的浪費，太少又難以滿足乘客需求．為此，某市公交公司在某站臺的60名候車乘客中進(jìn)行隨機抽樣，共抽取10人進(jìn)行調(diào)查反饋，所選乘客情況如下表所示：

組別	候車時間（單位：min）	人數(shù)
一	[0，5）	1
二	[5，10）	5
三	[10，15）	3
四	[15，20）	1

（1）估計這60名乘客中候車時間少于10分鐘的人數(shù)；
（2）現(xiàn)從這10人中隨機取3人，求至少有一人來自第二組的概率；
（3）現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)這3個人共來自X個組，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

函數(shù)f（x）=

2-x x-1

的定義域為集合A，關(guān)于x的不等式3^2ax＜3^a+x（a∈R）的解集為B，求使A∩B=A的實數(shù)a的取值范圍．

已知橢圓C1：

x2

8

+

y2

4

=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C₁的左頂點和右頂點．以F₁，F(xiàn)₂為焦點作與橢圓C₁離心率相同的橢圓C₂．
（1）P為橢圓C₁上異于F₁，F(xiàn)₂的任意一點．設(shè)直線PF₁的斜率為k₁，直線PF₂的斜率為k₂．求證：k₁•k₂為定值；
（2）若直線PF₁交C₂于A，B兩點，直線PF₂交C₂于C，D兩點，求|AB|+|CD|的值．

定義函數(shù)fk(x)=

alnx

xk

為f（x）的k階函數(shù)．
（1）求一階函數(shù)f₁（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論方程f₂（x）=1的解的個數(shù)；
（3）求證：3lnn!≤1+2³e+3³e²+…+n³e^n-1（n∈N^*）．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1．
（1）若一直線與橢圓C交于兩不同點M，N，且線段MN恰以點（-1，-

1

4

）為中點，求直線MN的方程；
（2）過橢圓右焦點F做直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，設(shè)

FA

=λ

FB

，點T坐標(biāo)為（2，0），若λ∈[-3，-2]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

某學(xué)生在高考前1個月買了一本數(shù)學(xué)《高考沖刺壓軸卷》，每套試卷中有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確．評分標(biāo)準(zhǔn)是“每題僅選一個選項，選對得5分，不選或選錯得零分”．假設(shè)該生在壓軸卷（一）的選擇題中確定能做對前6題，第7-9題每題只能排除兩個選項是錯誤的，第10題完全不能理解題意，只能隨意猜測．
（1）求該生選擇題得滿分的概率；
（2）設(shè)該學(xué)生選擇題的得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX，若該生要想每次選擇題的平均得分不少于40分，這樣才有更大的機會使整卷得到高分120分以上，問是否還應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率？