已知t=（

1

2

）^x+（

2

3

）^x+（

5

6

）^x，當(dāng)（t-1）（t-2）（t-3）=0時，求所有實(shí)數(shù)解的和．

已知函數(shù)f（x）=asinx+bx的圖象在點(diǎn)(

π

3

，f(

π

3

))處的切線方程為x+2y-

3

+

π

3

=0．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x＜

π

2

時，f（x）＞（m-1）x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

如圖，以

3

2

為離心率的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A和B，點(diǎn)P是橢圓位于x軸上方的一點(diǎn)，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是橢圓位于x軸下方的一點(diǎn)，直線AP、BQ的斜率分別為k₁，k₂，若k₁=7k₂，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓于點(diǎn)D，且

BF

=

5

3

FD

．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間（a，a+

1

2

 ）（a＞0）上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當(dāng)x≥1時，不等式f（x）＞

2sinx

x+1

恒成立．

某市質(zhì)監(jiān)部門對市場上奶粉進(jìn)行質(zhì)量抽檢，現(xiàn)將9個進(jìn)口品牌奶粉的樣品編號為1，2，3，4，…，9；6個國產(chǎn)品牌奶粉的樣品編號為10，11，12，…，15，按進(jìn)口品牌及國產(chǎn)品牌分層進(jìn)行分層抽樣，從其中抽取5個樣品進(jìn)行首輪檢驗(yàn)，用P（i，j）表示編號為i，j（1≤i＜j≤15）的樣品首輪同時被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱PA=PC=2

3

，PB=

10

．M，N兩點(diǎn)分別在側(cè)棱PB，PD上，

|PM|

|MB|

=

|PN|

|ND|

=2
（1）求證：PA⊥平面MNC．
（2）求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．

設(shè)點(diǎn)P（-2，1）在拋物線x²=2py（p＞0）上，且到圓C：x²+（y+b）²=1上點(diǎn)的最小距離為1．
（Ⅰ）求p和b的值；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線交于兩點(diǎn)A，B，若直線AB與圓C交于不同兩點(diǎn)M，N．
（i）證明直線AB的斜率為定值；
（ii）求△PMN面積取最大值時直線AB的方程．

已知函數(shù)f（x）=

x+1

ex

（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=xf（x）+tf′（x）+

1

ex

，存在函數(shù)x₁，x₂∈[0，1]，使得成立2φ（x₁）＜φ（x₂）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

已知x+5y≤60，5x+3y≤40，x∈N，y∈N，求Z=200x+150y的最大值．