如圖，設(shè)E：＋＝1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂＝2θ.求證：△PF₁F₂的面積S＝b²tanθ.

若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，線段F₁F₂被拋物線y²＝2bx的焦點(diǎn)分成7∶3的兩段，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______．

如圖，已知橢圓C的方程為＋y²＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)．

(1) 設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；

(2) 若M、N是橢圓C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．

給定橢圓C：＋＝1(a>b>0)，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(，0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為.

(1) 求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；

(2) 若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；

(3) 在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，試判斷l(xiāng)₁，l₂是否垂直？并說(shuō)明理由．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：(x＋1)²＋y²＝16，點(diǎn)F(1，0)，E是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF的垂直平分線PQ與CE交于點(diǎn)B，與EF交于點(diǎn)D.

(1) 求點(diǎn)B的軌跡方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)D位于y軸的正半軸上時(shí)，求直線PQ的方程；

(3) 若G是圓C上的另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足FG⊥FE，記線段EG的中點(diǎn)為M，試判斷線段OM的長(zhǎng)度是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

如圖，過(guò)拋物線C：y²＝4x上一點(diǎn)P(1，－2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1) 求y₁＋y₂的值；

(2) 若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面積的最大值．

 設(shè)拋物線y²＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是________．

已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離等于，過(guò)右焦點(diǎn)F₂的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)₁為左焦點(diǎn)．

(1) 求雙曲線的方程；

(2) 若△F₁AB的面積等于6，求直線l的方程．

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2，0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 當(dāng)△AMN的面積為時(shí)，求k的值．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，其中m>0，y₁>0，y₂<0.

(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF²－PB²＝4，求點(diǎn)P的軌跡；

(2) 設(shè)x₁＝2，x₂＝，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3) 設(shè)t＝9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))．