4．已知函數(shù)y=f（x），若存在實(shí)數(shù)m、k（m≠0），使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，則稱函數(shù)f（x）的“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對(duì)（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡“數(shù)對(duì)．
（1）若m=1，判斷f（x）=sinx是否為“可平衡“函數(shù)，并說明理由；
（2）若a∈R，a≠0，當(dāng)a變化時(shí)，求證f（x）=x²與g（x）=a+2^x的平衡“數(shù)對(duì)”相同．
（3）若m₁、m₂∈R，且（m₁，$\frac{π}{2}$）（m₂，$\frac{π}{4}$）均為函數(shù)，f（x）=cos²x（0$＜x≤\frac{π}{4}$）的“平衡”數(shù)對(duì)，求m₁²+m₂²的取值范圍．

3．若x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-y≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$，則$\frac{y-1}{x}$的最大值為2．

2．在條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，下，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為40，則$\frac{5}{a}+\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{4}$．

1．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“⊙”：a⊙b=$\left\{\begin{array}{l}a，a-b≤1\\ b，a-b＞1\end{array}$設(shè)f（x）=2^x+1⊙（1-x），若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=x²-6x在區(qū)間（m，m+1）上均為減函數(shù)，且m∈{-1，0，1，3}，則m的值為（　　）

A．

0

B．

-1或0

C．

0或1

D．

0或1或3

20．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和，且a₁=2，${a_{n+1}}=3{S_n}+2（{n∈{N^*}}）$，則a₅=512．

19．定義：f₁（x）=f（x），當(dāng)n≥2且x∈N^*時(shí)，f_n（x）=f（f_n-1（x）），對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的x₀，若正在正整數(shù)n是使得f_n（x₀）=x₀成立的最小正整數(shù)，則稱n是點(diǎn)x₀的最小正周期，x₀稱為f（x）的n～周期點(diǎn)，已知定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）的圖象如圖，對(duì)于函數(shù)f（x），下列說法正確的是①②③（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①1是f（x）的一個(gè)3～周期點(diǎn)；
②3是點(diǎn)$\frac{1}{2}$的最小正周期；
③對(duì)于任意正整數(shù)n，都有f_n（${\frac{2}{3}}$）=$\frac{2}{3}$；
④若x₀∈（$\frac{1}{2}$，1]，則x₀是f（x）的一個(gè)2～周期點(diǎn)．

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-{x^2}（x≤1）\\{x^2}+x-2（x＞1）\end{array}$則$f[\frac{1}{f（2）}]$的值為（　�。�

A．

$\frac{15}{16}$

B．

$\frac{8}{9}$

C．

$-\frac{27}{16}$

D．

18

17．已知f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，x∈1，+∞）．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性并證明；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（3）若對(duì)任意x∈1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

16．設(shè)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，對(duì)任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）；
（2）解不等式f（x）•f（2x-x²）＞1．

15．已知點(diǎn)P是橢圓16x²+25y²=1600上一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線PF₂的斜率為$-4\sqrt{3}$．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△PF₁F₂的面積．