3．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，$a1=2，{S_n}={a_n}（{\frac{n}{3}+r}）（{r∈R，n∈{N^*}}）$．
（1）求r的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{n}{a_n}（{n∈{N^*}}）$，記{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
①當(dāng)n∈N^*時(shí)，λ＜T_2n-T_n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
②求證：存在關(guān)于n的整式g（n），使得$\sum_{i=1}^{n-1}{（{{T_n}+1}）}={T_n}•g（n）-1$對(duì)一切n≥2，n∈N^*都成立．

2．某地?cái)M在一個(gè)U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個(gè)封閉區(qū)域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點(diǎn)M處分別向點(diǎn)E，N拉2條分割線ME，MN，將所圍區(qū)域分成3個(gè)部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設(shè)所拉分割線總長度為l．
（1）設(shè)∠AME=2θ，求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；
（2）求l的最小值．

1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA+cos²$\frac{B+C}{2}$=1，D為BC上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$．
（1）求sinA的值；
（2）若a=4$\sqrt{2}$，b=5，求AD的長．

20．已知a＞0，b＞0，c＞2，且a+b=2，則$\frac{ac}+\frac{c}{ab}-\frac{c}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{c-2}$的最小值為$\sqrt{10}$+$\sqrt{5}$．

19．若函數(shù)f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好為[m，n]，則稱f（x）為函數(shù)的一個(gè)“等值映射區(qū)間”．下列函數(shù)：①y=x²-1；②y=2+log₂x；③y=2^x-1；④$y=\frac{1}{x-1}$．其中，存在唯一一個(gè)“等值映射區(qū)間”的函數(shù)有2個(gè)．

18．設(shè)P為有公共焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的橢圓C₁與雙曲線C₂的一個(gè)交點(diǎn)，且PF₁⊥PF₂，橢圓C₁的離心率為e₁，雙曲線C₂的離心率為e₂，若3e₁=e₂，則e₁=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

17．已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)圓心角為120°，且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于$\frac{2\sqrt{2}}{3}π$．

16．設(shè)$f（x）={sin^2}x-\sqrt{3}cosxcos（{x+\frac{π}{2}}）$，則f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{3}$]．

15．設(shè)公比不為1的等比數(shù)列{a_n}滿足${a_1}{a_2}{a_3}=-\frac{1}{8}$，且a₂，a₄，a₃成等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的前4項(xiàng)和為$\frac{5}{8}$．

14．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-3，x＞0\\ g（x），x＜0\end{array}\right.$是奇函數(shù)，則f（g（-2））=1．