4．（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{x（1-{x}^{2}）}{{x}^{2}+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，求f（x）的最大值．
（2）已知函數(shù)g（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)取得極大值1．
①求g（x）的表達(dá)式；
②若x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=g（x_n），n∈N，求證：$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{2}}$+…+$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$≤10．

3．已知橢圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），A，B是C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)D的極坐標(biāo)為（-4，$\frac{π}{3}$）．
（1）求線段AD的中點(diǎn)M的軌跡E的普通方程；
（2）利用橢圓C的極坐標(biāo)方程證明$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值，并求△AOB面積的最大值．

2．已知A，B為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）和雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的公共頂點(diǎn)，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且有$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$=λ（$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{BQ}$）（λ∈R），設(shè)AP，BP，AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂，k₃，k₄，且m=
（k₁，k₂），n=（k₂，k₁） 
（1）求證：m⊥n；
（2）求$\frac{{k}_{2}}{{k}_{1}}$+$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$+$\frac{{k}_{3}}{{k}_{4}}$+$\frac{{k}_{4}}{{k}_{3}}$的值；
（3）設(shè)F₂′，F(xiàn)₂分別為雙曲線和橢圓的右焦點(diǎn)，且PF₂′∥QF₂，試判斷k₁²+k₂²+k₃²+k₄²是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

1．四棱錐P-ABCD的底面與四個(gè)側(cè)面的形狀和大小如圖所示．

（1）寫出四棱錐P-ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系（不要求證明）；
（2）在四棱錐P-ABCD中，若E為PA的中點(diǎn)，求證：BE∥平面PCD；
（3）在四棱錐P-ABCD中，設(shè)面PAB與面PCD所成的角為θ（0°＜θ≤90°），求cosθ的值．

13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{3}{2}$，0），銳角α的終邊與單位圓O交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）用α的三角函數(shù)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=-$\frac{1}{4}$時(shí)，求α的值；
（Ⅲ）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得|$\overrightarrow{AP}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{MP}$|恒成立？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

12．已知如表為“五點(diǎn)法”繪制函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象時(shí)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
f（x）	0	2	0	-2	0

（Ⅰ）請(qǐng)寫出函數(shù)f（x）的最小正周期和解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的取值范圍．

11．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，其對(duì)稱軸為y軸（其中b，c為常數(shù)）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=f（x）-2，若函數(shù)g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（Ⅲ）求證：不等式f（c²+1）＞f（c）對(duì)任意c∈R成立．

10．燕子每年秋天都要從北方到南方過(guò)冬，鳥類科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度v與耗氧量x之間滿足函數(shù)關(guān)系v=alog₂$\frac{x}{10}$．若兩歲燕子耗氧量達(dá)到40個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為v=10m/s，則兩歲燕子飛行速度為25m/s時(shí)，耗氧量達(dá)到320單位．

9．已知△ABC中，點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），C（x，1）
（i）若∠ACB是直角，則x=$±\sqrt{3}$
（ii）若△ABC是銳角三角形，則x的取值范圍是（-2，-$\sqrt{3}$）∪（2，+∞）．

8．已知角α終邊上有一點(diǎn)P（x，1），且cosα=-$\frac{1}{2}$，則tanα=-$\sqrt{3}$．