【題目】已知函數(shù)， .

（1）求過點(diǎn)的的切線方程；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)在的最大值；

（3）證明：當(dāng)時，不等式對任意均成立（其中為自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米， 為3米，上部是個半圓，固定點(diǎn)為的中點(diǎn). 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行.當(dāng)位于下方和上方時，通風(fēng)窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風(fēng)）.

（1）設(shè)與之間的距離為（且）米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；

（2）當(dāng)與之間的距離為多少米時，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值？

【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且.

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

【題目】已知動圓過定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為.

（1）求動圓的圓心點(diǎn)的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)的動直線與曲線交于兩點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得直線分別交于兩點(diǎn)，使得直線的斜率，滿足？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【題目】已知四邊形為等腰梯形， , 沿對角線將旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)至點(diǎn)的位置，此時滿足.

（1）判斷的形狀，并證明；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

（1）已知10名學(xué)生的平均成績?yōu)?8，計算其中位數(shù)和方差；

（2）已知全市學(xué)生學(xué)習(xí)成績分布服從正態(tài)分布，某校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生30人.

①依據(jù)（1）的結(jié)果，試估計該班學(xué)業(yè)水平測試成績在的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）；

②為參加學(xué)校舉行的數(shù)學(xué)知識競賽，該班決定推薦成績在的學(xué)生參加預(yù)選賽若每個學(xué)生通過預(yù)選賽的概率為，用隨機(jī)變量表示通過預(yù)選賽的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

正態(tài)分布參考數(shù)據(jù)：

已知， ，函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)， 時，解關(guān)于的不等式；

（Ⅱ）若函數(shù)的最大值為2，求證： .

【題目】已知， .

（Ⅰ）求函數(shù)圖象恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）若恒成立，求的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的條件下，證明： 存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在橢圓上，過作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）過的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，過作與垂直的直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，求證： 為定值.

【題目】高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里？”這個問題時，從中國某城市的高中生中，隨機(jī)抽取了55人，從美國某城市的高中生中隨機(jī)抽取了45人進(jìn)行答題.中國高中生答題情況是：選擇家的占、朋友聚集的地方占、個人空間占.美國高中生答題情況是：家占、朋友聚集的地方占、個人空間占.為了考察高中生的“戀家（在家里感到最幸福）”是否與國別有關(guān)，構(gòu)建了如下列聯(lián)表.

（Ⅰ）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；試判斷能否有的把握認(rèn)為“戀家”與否與國別有關(guān)；

（Ⅱ）從中國高中生的學(xué)生中以“是否戀家”為標(biāo)準(zhǔn)采用分層抽樣的方法，隨機(jī)抽取了5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人.若所選2名學(xué)生中的“戀家”人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望.

附： ，其中.