【題目】在中， ， ， ， 為線段的中點， 為線段的三等分點（如圖1）.將沿著折起到的位置，連接（如圖2）.

（1）若平面平面，求三棱錐的體積；

（2）記線段的中點為，平面與平面的交線為，求證： .

【題目】已知直線過橢圓的右焦點，拋物線的焦點為橢圓的上頂點，且交橢圓于兩點，點在直線上的射影依次為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交軸于點，且，當變化時，證明： 為定值；

（3）當變化時，直線與是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由.

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點為。斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為。

（1）求橢圓的方程；

（2）求的面積。

【題目】已知函數(shù).

(1)若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(2)已知關于的方程有兩個實根，求證： .

【題目】“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié)，某電子商務平臺對某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進行摸底調(diào)查，用隨機抽樣的方法抽取了100人，其消費金額 (百元)的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求網(wǎng)民消費金額的中位數(shù)；

(2)把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認為網(wǎng)購消費與性別有關；

(3)將(2)中的頻率當作概率，電子商務平臺從該市網(wǎng)民中隨機抽取10人贈送電子禮金，求這10人中女性的人數(shù)的數(shù)學期望.

附表：

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【題目】在直三棱柱中， ， ， 是棱的中點.

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

【題目】已知定點，定直線，動點到點的距離比點到的距離小1.

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）過點的直線與（1）中軌跡C相交于兩個不同的點M、N，若，求直線的斜率的取值范圍.

【題目】已知在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸建立極坐標系.

（1）求圓的普通方程與極坐標方程；

（2）若直線的極坐標方程為，求圓上的點到直線的最大距離.

【題目】已知圓的一條直角是橢圓的長軸，動直線，當過橢圓上一點且與圓相交于點時，弦的最小值為.

（1）求圓即橢圓的方程；

（2）若直線是橢圓的一條切線，是切線上兩個點，其橫坐標分別為，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點？如果存在，求出定點坐標；若不存在，請說明理由.

【題目】某心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當t∈(0,14]時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當t∈[14,40]時，曲線是函數(shù)（且）圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于等于80時聽課效果最佳．

(1)試求的函數(shù)關系式；

(2)一道數(shù)學難題，講解需要22分鐘，問老師能否經(jīng)過合理安排在學生聽課效果最佳時講完？請說明理由．