【題目】一胸針圖樣由等腰三角形及圓心在中軸線上的圓弧構(gòu)成，已知，.為了增加胸針的美觀程度，設(shè)計師準(zhǔn)備焊接三條金絲線且長度不小于長度，設(shè).

（1）試求出金絲線的總長度，并求出的取值范圍；

（2）當(dāng)為何值時，金絲線的總長度最小，并求出的最小值.

【題目】已知當(dāng)，函數(shù)，且，若的圖像與的圖像在第二象限有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，當(dāng)實數(shù)變化時，實數(shù)的取值范圍是_______.

【題目】給定個不同的數(shù)、、、、，它的某一個排列的前項和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個不同數(shù)的所有排列對應(yīng)的之和為．

（1）若，求；

（2）若，.

①證明：對任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，四邊形是邊長為的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求異面直線和所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值．

【題目】已知數(shù)列、、滿足，．

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；

（2）若恰好是一個等差數(shù)列的前項和，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

【題目】定義：若一個函數(shù)存在極大值，且該極大值為負(fù)數(shù)，則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當(dāng)，且時，函數(shù)是“函數(shù)”．

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，以為邊作矩形，其中直線過原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時，的面積為，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求矩形面積的最大值；

（3）矩形能否為正方形？請說明理由．

【題目】某溫泉度假村擬以泉眼為圓心建造一個半徑為米的圓形溫泉池，如圖所示，、是圓上關(guān)于直徑對稱的兩點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與圓的弦、分別交于點(diǎn)、，其中四邊形為溫泉區(qū)，I、II區(qū)域為池外休息區(qū)，III、IV區(qū)域為池內(nèi)休息區(qū)，設(shè)．

（1）當(dāng)時，求池內(nèi)休息區(qū)的總面積（III和IV兩個部分面積的和）；

（2）當(dāng)池內(nèi)休息區(qū)的總面積最大時，求的長．

【題目】（1）若，恒成立，求實數(shù)的最大值；

（2）在（1）的條件下，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．