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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)的值及拋物線的準(zhǔn)線方程;
(2)過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于、和、點(diǎn),求兩條弦的弦長之和的最小值.
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【題目】某班隨機(jī)抽查了20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,分?jǐn)?shù)制成如圖的莖葉圖,其中A組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間不足1個(gè)小時(shí),B組學(xué)生每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間達(dá)到一個(gè)小時(shí)。學(xué)校規(guī)定90分及90分以上記為優(yōu)秀,75分及75分以上記為達(dá)標(biāo),75分以下記為未達(dá)標(biāo).
(1)分別求出A、B兩組學(xué)生的平均分、并估計(jì)全班的數(shù)學(xué)平均分;
(2)現(xiàn)在從成績優(yōu)秀的學(xué)生中任意抽取2人,求這兩人恰好都來自B組的概率;
(3)根據(jù)成績得到如下列聯(lián)表:
①直接寫出表中的值;
②判斷是否有的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)與否”與“每天學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)間能否達(dá)到一小時(shí)”有關(guān).
參考公式與臨界值表:K2=.
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【題目】已知數(shù)列中,,,的前項(xiàng)和為,且滿足().
(1)試求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)令,是的前項(xiàng)和,證明:;
(3)證明:對任意給定的,均存在,使得時(shí),(2)中的恒成立.
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【題目】
對定義在區(qū)間上的函數(shù),若存在閉區(qū)間和常數(shù),使得對任意的都有,且對任意的都有恒成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“U型”函數(shù)。
(1)求證:函數(shù)是上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式對一切的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“U型”函數(shù),求實(shí)數(shù)和的值.
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【題目】設(shè)函數(shù)由方程確定,下列結(jié)論正確的是________(請將你認(rèn)為正確的序號都填上)
① 是上的單調(diào)遞減函數(shù);
② 對于任意,恒成立;
③ 對于任意,關(guān)于的方程都有解;
④ 存在反函數(shù),且對任意,總有成立.
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【題目】已知函數(shù)(a>0,a≠1).
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(t2t1)+f(t2)<0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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【題目】已知雙曲線的中心在原點(diǎn),、為左、右焦點(diǎn),焦距是實(shí)軸長的倍,雙曲線過點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)在雙曲線上,求證:點(diǎn)在以為直徑的圓上;
(3)在(2)的條件下,若直線交雙曲線于另一點(diǎn),求的面積.
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【題目】設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且對于任意都有,記為數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)計(jì)算的值;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè),若為單調(diào)遞增數(shù)列,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù),,,記.
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)沒有零點(diǎn),求的取值范圍.
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