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【題目】從某校隨機抽取100名學生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:
(1)從該校隨機選取一名學生,試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;
(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;
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【題目】已知函數(shù),.
(1)證明:的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點;
(2)若對任意,均存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
注:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
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【題目】設(shè)橢圓的左焦點為,離心率為,為圓的圓心.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點,過且與垂直的直線與圓交于兩點,求四邊形面積的取值范圍.
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【題目】汕頭市有一塊如圖所示的海岸,,為岸邊,岸邊形成角,現(xiàn)擬在此海岸用圍網(wǎng)建一個養(yǎng)殖場,現(xiàn)有以下兩個方案:
方案l:在岸邊,上分別取點,,用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形(為圍網(wǎng)).
方案2:在的平分線上取一點,再從岸邊,上分別取點,,使得,用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成四邊形(,為圍網(wǎng)).
記三角形的面積為,四邊形的面積為. 請分別計算,的最大值,并比較哪個方案好.
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【題目】分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學.分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜,但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的.一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式,即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法來得到一系列圖形,如圖1,線段的長度為,在線段上取兩個點,,使得,以為一邊在線段的上方做一個正六邊形,然后去掉線段,得到圖2中的圖形;對圖2中的最上方的線段作相同的操作,得到圖3中的圖形;依此類推,我們就得到了以下一系列圖形:
記第個圖形(圖1為第1個圖形)中的所有線段長的和為,則(1)______;(2)如果對,恒成立,那么線段的長度的取值范圍是_______.
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【題目】學生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無明顯推理錯誤,但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點缺失等,記此類解答為“類解答”.為評估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了一項試驗:從某次考試的數(shù)學試卷中隨機抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學老師集體評閱,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評分數(shù)及各分數(shù)所占比例大約如下表:
教師評分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分數(shù)所占比例 |
某次數(shù)學考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨立評分,稱為一評和二評,當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于等于1分時,取兩者平均分為該題得分;當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于1分時,再由第三位老師評分,稱之為仲裁,取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分;當一、二評分數(shù)和仲裁分數(shù)差值的絕對值相同時,取仲裁分數(shù)和前兩評中較高的分數(shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分數(shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).
(1)本次數(shù)學考試中甲同學某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學此題得分的分布列及數(shù)學期望;
(2)本次數(shù)學考試有6個解答題,每題滿分均為12分,同學乙6個題的解答均為“類解答”,記該同學6個題中得分為的題目個數(shù)為,,,計算事件“”的概率.
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【題目】已知函數(shù),
(1)求的極值;
(2)若時,與的單調(diào)性相同,求的取值范圍;
(3)當時,函數(shù),有最小值,記的最小值為,證明:.
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【題目】吸煙有害健康,小明為了幫助爸爸戒煙,在爸爸包里放一個小盒子,里面隨機擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”,并且和爸爸約定,每次想吸煙時,從盒子里任取一支,若取到口香糖則吃一支口香糖,不吸煙;若取到香煙,則吸一支煙,不吃口香糖,假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同,則“口香糖吃完時還剩2支香煙”的概率為( )
A.B.
C.D.
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【題目】水污染現(xiàn)狀與工業(yè)廢水排放密切相關(guān),某工廠深人貫徹科學發(fā)展觀,努力提高污水收集處理水平,其污水處理程序如下:原始污水必先經(jīng)過A系統(tǒng)處理,處理后的污水(A級水)達到環(huán)保標準(簡稱達標)的概率為p(0<p<1).經(jīng)化驗檢測,若確認達標便可直接排放;若不達標則必須進行B系統(tǒng)處理后直接排放.
某廠現(xiàn)有4個標準水量的A級水池,分別取樣、檢測,多個污水樣本檢測時,既可以逐個化驗,也可以將若干個樣本混合在一起化驗,混合樣本中只要有樣本不達標,則混合樣本的化驗結(jié)果必不達標,若混合樣本不達標,則該組中各個樣本必須再逐個化驗;若混合樣本達標,則原水池的污水直接排放
現(xiàn)有以下四種方案:
方案一:逐個化驗;
方案二:平均分成兩組化驗;方案三;三個樣本混在一起化驗,剩下的一個單獨化驗;
方案四:四個樣本混在一起化驗.
化驗次數(shù)的期望值越小,則方案越"優(yōu)".
(1)若,求2個A級水樣本混合化驗結(jié)果不達標的概率;
(2)①若,現(xiàn)有4個A級水樣本需要化驗,請問:方案一、二、四中哪個最“優(yōu)"?②若“方案三”比“方案四"更“優(yōu)”,求p的取值范圍.
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