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【題目】如圖,已知為等邊三角形,為等腰直角三角形,.平面平面ABD,點E與點D在平面ABC的同側(cè),且,.點F為AD中點,連接EF.
(1)求證:平面ABC;
(2)求證:平面平面ABD.
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【題目】設(shè)函數(shù)在上有定義,實數(shù)和滿足.若在區(qū)間上不存在最小值,則稱在區(qū)間上具有性質(zhì)P.
(1)當,且在區(qū)間上具有性質(zhì)P,求常數(shù)C的取值范圍;
(2)已知,且當時,,判別在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P;
(3)若對于滿足的任意實數(shù)和,在區(qū)間上具有性質(zhì)P,且對于任意,當時,有:,證明:當時,.
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【題目】平面直角坐標系中,拋物線的焦點為F,過F的直線交于B,C兩點.
(1)若垂直于軸,且線段BC的長為1,求的方程;
(2)若的斜率為,求;
(3)設(shè)拋物線上異于的點A滿足,若的重心在軸上,求的重心的坐標.
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【題目】業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年,某芯片企業(yè)準備研發(fā)一款產(chǎn)品,研發(fā)啟動時投入資金為A(A為常數(shù))元,之后每年會投入一筆研發(fā)資金,n年后總投入資金記為,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當時,近似地滿足,其中,為常數(shù),.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動是投入資金的3倍,問:
(1)研發(fā)啟動多少年后,總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍;
(2)研發(fā)啟動后第幾年投入的資金最多?
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【題目】給定整數(shù),數(shù)列、、、每項均為整數(shù),在中去掉一項,并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組,其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為. 將、、、中的最小值稱為數(shù)列的特征值.
(Ⅰ)已知數(shù)列、、、、,寫出、、的值及的特征值;
(Ⅱ)若,當,其中、且時,判斷與的大小關(guān)系,并說明理由;
(Ⅲ)已知數(shù)列的特征值為,求的最小值.
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【題目】某市《城市總體規(guī)劃(年)》提出到年實現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標,從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購物、休閑與健身個方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標體系,并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為:優(yōu)質(zhì)小區(qū)(指數(shù)為)、良好小區(qū)(指數(shù)為)、中等小區(qū)(指數(shù)為)以及待改進小區(qū)(指數(shù)為)個等級.下面是三個小區(qū)個方面指標的調(diào)查數(shù)據(jù):
注:每個小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù),其中、、、為該小區(qū)四個方面的權(quán)重,、、、為該小區(qū)四個方面的指標值(小區(qū)每一個方面的指標值為之間的一個數(shù)值).
現(xiàn)有個小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù),整理得到如下頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)分別判斷、、三個小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū),并說明理由;
(Ⅱ)對這個小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進小區(qū)進行分層抽樣,抽取個小區(qū)進行調(diào)查,若在抽取的個小區(qū)中再隨機地選取個小區(qū)做深入調(diào)查,記這個小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個數(shù),求的分布列及數(shù)學期望.
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【題目】已知曲線(為常數(shù)).
(i)給出下列結(jié)論:
①曲線為中心對稱圖形;
②曲線為軸對稱圖形;
③當時,若點在曲線上,則或.
其中,所有正確結(jié)論的序號是_________.
(ii)當時,若曲線所圍成的區(qū)域的面積小于,則的值可以是_________.(寫出一個即可)
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【題目】若點為點在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為的正方體中,記平面為,平面為,點是棱上一動點(與、不重合),.給出下列三個結(jié)論:
①線段長度的取值范圍是;
②存在點使得平面;
③存在點使得.
其中,所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①②③B.②③C.①③D.①②
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【題目】已知無窮數(shù)列{an}(an∈Z)的前n項和為Sn,記S1,S2,…,Sn中奇數(shù)的個數(shù)為bn.
(1)若an=n,請寫出數(shù)列{bn}的前5項;
(2)求證:“a1為奇數(shù),ai(i=2,3,4,…)為偶數(shù)”是“數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列”的充分不必要條件;
(3)若ai=bi,i=1,2,3,…,求數(shù)列{an}的通項公式.
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