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【題目】設(shè)數(shù)列是公差不為零等差數(shù)列,滿足;數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.
(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(2)在和之間插入1個(gè)數(shù),使成等差數(shù)列;在和之間插入2個(gè)數(shù),使成等差數(shù)列;……;在和之間插入個(gè)數(shù),使成等差數(shù)列,
(i)求;
(ii)是否存在正整數(shù),使成立?若存在,求出所有的正整數(shù)對;若不存在,請說明理由.
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【題目】設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且.
(1)求的值;
(2)設(shè)為實(shí)數(shù),若對于任意,不等式恒成立,且存在唯一的實(shí)數(shù)使得成立,求的值;
(3)是否存在負(fù)數(shù),使得是曲線的切線.若存在,求出的所有值:若不存在,請說明理由.
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【題目】某人利用一根原木制作一件手工作品,該作品由一個(gè)球體和一個(gè)正四棱柱組成,假定原 木為圓柱體(如圖1),底面半徑為,高為,制作要求如下:首先需將原木切割為兩部分(分別稱為第I圓柱和第II圓柱),要求切面與原木的上下底面平行(不考慮損耗) 然后將第I圓柱切割為一個(gè)球體,要求體積最大,將第II圓柱切割為一個(gè)正四棱柱,要求正四棱柱的上下底面分別為第II圓柱上下底面圓的內(nèi)接正方形.
(1)當(dāng)時(shí),若第I圓柱和第II圓柱的體積相等,求該手王作品的體積;
(2)對于給定的和,求手工作品體積的最大值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,的離心率為,且點(diǎn)在此橢圓上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),且與橢圓交于.兩點(diǎn).若的面積為,求直線的方程.
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【題目】進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的計(jì)數(shù)系統(tǒng),“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制,不同進(jìn)制之間可以相互轉(zhuǎn)化,例如把十進(jìn)制的89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制,根據(jù)二進(jìn)制數(shù)“滿二進(jìn)一”的原則,可以用2連續(xù)去除89得商,然后取余數(shù),具體計(jì)算方法如下:
把以上各步所得余數(shù)從下到上排列,得到89=1011001(2)這種算法叫做“除二取余法”,上述方法也可以推廣為把十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)的方法,稱為“除k取余法”,那么用“除k取余法”把89化為七進(jìn)制數(shù)為_.
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行.點(diǎn)是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計(jì)算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】三國時(shí)代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為( )
A. B. C. D.
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【題目】2016年1月14日,國防科工局宣布,嫦娥四號任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過,正式開始實(shí)施.如圖所示,假設(shè)“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,給出下列式子:①;②;③;④.其中正確式子的序號是( )
A.①③B.①④C.②③D.②④
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【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型函數(shù),若,則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù),給出下面4個(gè)命題:①對任意,都有;②對任意,都有;③對任意,都有, ;④對任意,都有.其中所有真命題的序號是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線與函數(shù)的圖象在處的切線互相平行.
(1)求的值;
(2)若對恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
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