在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，CP是圓O的切線，P為切點，直線CO交圓O于A，B兩點，AD⊥CP，垂足為D．
求證：∠DAP=∠BAP．
B．選修4-2：矩陣與變換
設a＞0，b＞0，若矩陣A=

.

a 0 0 b

.

把圓C：x²+y²=1變換為橢圓E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩陣A的逆矩陣A^-1
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，已知圓C：ρ=4cosθ被直線l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦長為2

3

求實數(shù)a的值．
D．選修4-5：不等式選講已知a，b是正數(shù)，求證：a²+4b²+

1

ab

≥4．

在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，離心率為

1

2

，右準線為l：x=4．M為橢圓上不同于A，B的一點，直線AM與直線l交于點P．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

AM

=

MP

，判斷點B是否在以PM為直徑的圓上，并說明理由；
（3）連接PB并延長交橢圓C于點N，若直線MN垂直于x軸，求點M的坐標．

已知直線x=a(0＜a＜

π

2

)與函數(shù)f（x）=sinx和函數(shù)g（x）=cosx的圖象分別交于M，N兩點，若MN=

1

5

，則線段MN的中點縱坐標為．

已知α，β為平面，m，n為直線，下列命題：①若m∥n，n∥α，則m∥α；    ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若α∩β=n，m∥α，m∥β，則m∥n； ④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n．
其中是真命題的有．（填寫所有正確命題的序號）

已知函數(shù)f(x)=

ex-k，   x≤0 (1-k)x+k，x＞0

是R上的增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是．

在平面直角坐標系xOy中，已知焦點為F的拋物線y²=2x上的點P到坐標原點O的距離為

15

，則線段PF的長為．

集合A是由適合以下性質的函數(shù)組成：對于任意x≥0，f（x）∈[-2，4]，且f（x）在（0，+∞） 上是增函數(shù)．
（1）試判斷f1(x)=

x

-2及f2(x)=4-6•(

1

2

)x是否在集合A中，并說明理由；
（2）若定義：對定義域中的任意一個x都有不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）恒成立，則稱這個函數(shù)為凸函數(shù)．對于（1）中你認為在集合A中的函數(shù)f（x）是凸函數(shù)嗎？試證明你的結論．

已知a=

5 -1

2

，函數(shù)f（x）=a^x，若實數(shù)m，n滿足f（m）＜f（n），則m、n的大小關系是．

某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答下列問題：
（1）寫出該城市人口數(shù)y（萬人）與年份x（年）的函數(shù)關系式；
（2）用偽代碼表示計算10年以后該城市人口總數(shù)的算法；
（3）用流程圖表示計算大約多少年以后該城市人口將達到120萬人的算法．

試分別用輾轉相除法和更相減損術求840與1764、440與556的最大公約數(shù)．