Question

17．如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的矩形金屬線圈，邊長L₁=0.40m、L₂=0.25m，其匝數(shù)n=100匝，總電阻r=1.0Ω，線圈的兩個末端分別與兩個彼此絕緣的銅環(huán)C、D（集流環(huán)）焊接在一起，并通過電刷和R=3.0Ω的定值電阻相連接．線圈所在空間存在水平向右的勻強磁場，磁感應強度B=1.0T，在外力驅(qū)動下線圈繞豎直固定中心軸O₁O₂勻速轉(zhuǎn)動，角速度ω=2.0rad/s．求：
（1）電阻R兩端電壓的最大值
（2）從線圈通過中性面（即線圈平面與磁場方向垂直的位置）開始計時，經(jīng)過$\frac{1}{4}$周期通過電阻R的電荷量．
（3）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，整個電路產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)E=nBSω求出感應電動勢的最大值，結(jié)合內(nèi)外電阻，即可求解R兩端的最大電壓值．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應定律結(jié)合閉合電路歐姆定律求出平均感應電流，根據(jù)q=$\overline{I}$△t求出通過電阻R的電荷量．
（3）根據(jù)E=nBSω求出感應電動勢的最大值，從而求出感應電動勢的有效值，根據(jù)歐姆定律求出感應電流的有效值，根據(jù)焦耳定律可求得轉(zhuǎn)動一周過程中電阻R上產(chǎn)生的熱量；

解答 解：（1）線圈中感應電動勢的最大值E_m=nBSω，其中S=L₁L₂
E_m=nBSω=nBL₁L₂ω=20V
線圈中感應電流的最大值I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$=5.0A
電阻R兩端電壓的最大值U_m=I_mR=15V
（2）設從線圈平面通過中性面時開始，經(jīng)過$\frac{1}{4}$周期的時間△t=$\frac{T}{4}$=$\frac{π}{2ω}$
此過程中線圈中的平均感應電動勢′：E=n$\frac{△∅}{△t}$=n$\frac{BS}{△t}$
通過電阻R的平均電流：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$=$\frac{nBS}{（R+r）△t}$，
通過電阻R的電荷量：q=$\overline{I}△t$=$\frac{nBS}{R+r}$；
代入數(shù)據(jù)，解得：q=2.5C
（3）線圈中感應電流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$A
線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，電流通過整個回路產(chǎn)生的焦耳熱：Q_熱=I²（R+r）T=50πJ≈157J
答：（1）電阻R兩端電壓的最大值15V；
（2）經(jīng)過$\frac{1}{4}$周期通過電阻R的電荷量2.5C；
（3）在線圈轉(zhuǎn)動一周的過程中，整個電路產(chǎn)生的焦耳熱157J．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握感應電動勢的平均值、最大值、有效值和瞬時值的區(qū)別以及應用．注意求電阻發(fā)熱，則必須將交流電的有效值代入計算，求電量用電流的平均值．