Question

8．如圖所示，兩根平行放置的金屬導(dǎo)軌COD、C′O′D′，導(dǎo)軌OC、O′C′部分粗糙，處在同一水平面內(nèi)，其空間有方向水平向左、磁場(chǎng)強(qiáng)度B₁=$\frac{25}{8}$T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，導(dǎo)軌OD、O′D′部分光滑足夠長(zhǎng)，與水平面成30°，某空間有方向垂直于導(dǎo)軌向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=1T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．OO′的連線垂直于OC、O′C′，金屬桿M垂直導(dǎo)軌放置在OC段處，金屬桿N垂直導(dǎo)軌放置在OD段上且距離O點(diǎn)足夠遠(yuǎn)處，已知導(dǎo)軌間相距d=1m，金屬桿與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，兩桿質(zhì)量均為m=1kg，電阻均為R=0.5Ω．
（1）若金屬桿N由靜止釋放，求其沿導(dǎo)軌OC下滑的最大速度v_m；
（2）若使金屬N在平行導(dǎo)軌的外力F作用下，由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌向下加速度a=2m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，求t=2s時(shí)的外力F；
（3）在第（2）問(wèn)中，金屬桿N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，求當(dāng)金屬桿M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬桿N沿OD下滑的距離s．

Answer 1

分析 （1）金屬桿N由靜止釋放后，由于M桿受到的安培力豎直向下，則其始終保持靜止．當(dāng)N桿切割磁感線時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流增大、受到的安培力也增大，從而加速度減小到零時(shí)，N桿的速度達(dá)到最大，由平衡條件、安培力、歐姆定律等可以求得最大速度．
（2）N桿在外力作用下以已知的加速度加速2s，則此時(shí)的速度、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流、安培力、等都能求出，由牛頓第二定律就能求出此時(shí)的外力大小和方向．
（3）在前一問(wèn)的基礎(chǔ)上，同時(shí)給M桿一初速度，由于受到變化的摩擦力作用向左減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律、安培力、滑動(dòng)摩擦力、歐姆定律等表示出M桿的加速度表達(dá)式，從表達(dá)式可以看出隨時(shí)間的變化關(guān)系，從而平均加速度可以用始末加速度的平均值表示，M桿速度的變化為-4m/s，這樣M桿靜止的時(shí)間能求出．對(duì)N桿而言，時(shí)間求出，則在斜面上下滑的距離由勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移公式求出．

解答 解：（1）金屬桿N在斜軌道下滑過(guò)程中，由于金屬桿M受到垂直導(dǎo)軌向下的力的作用，所以M棒始終處于靜止?fàn)顟B(tài)．
    對(duì)N棒，只有當(dāng)受到的合力為零時(shí)，速度達(dá)到最大．則有：
        $mgsin30°={B}_{2}•\frac{{B}_{2}d{v}_{m}}{2R}•d$    
    所以  ${v}_{m}=\frac{2mgRsin30°}{{{B}_{2}}^{2}8f4zh7q^{2}}=\frac{2×1×10×0.5×0.5}{{1}^{2}×{1}^{2}}m$=5m/s
（2）金屬N在平行導(dǎo)軌的外力F作用下，由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌向下以加速度a=2m/s^2做勻加速運(yùn)動(dòng)，則t=2s時(shí)N棒的速度：
          v=at=2×2=4m/s
   感應(yīng)電流：$I=\frac{{B}_{2}dv}{2R}=\frac{1×1×4}{2×0.5}A=4A$
   此時(shí)切割產(chǎn)生感應(yīng)電流的安培力：F_安=B₂Id=1×4×4N=4N．
   由牛頓第二定律得：F+mgsin30°-F_安=ma    
    代入數(shù)據(jù)得到：F=1N   正值表示方向沿斜面向下．
（3）金屬桿N向下勻減速下滑的過(guò)程中，M桿向左做減速運(yùn)動(dòng)．
   對(duì)M桿，水平方向上有：μF_N=ma_M         ①
                豎直方向上有：mg+B₁Id=F_N     ②
   根據(jù)歐姆定律：$I=\frac{{B}_{2}d{v}_{M}}{2R}$                        ③
  而：v_N=at                                        ④
  聯(lián)立以上四式得：a_M=4+2.5t   
  由此可以看出M桿了加速度隨時(shí)間均勻增大，當(dāng)t=0s時(shí)，${a}_{1}=4m/{s}^{2}$，設(shè)M桿減速到零的時(shí)間為t，加速度為 a₂=4+2.5t
  當(dāng)M桿靜止時(shí)：$△v=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{2}t=-4$
  將以上代入得：t=0.8s
對(duì)N桿t=0.8s內(nèi)下滑的距離：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×4×0．{8}^{2}m$=0.64m．
答：（1）若金屬桿N由靜止釋放，求其沿導(dǎo)軌OC下滑的最大速度為5m/s．
（2）若使金屬N在平行導(dǎo)軌的外力F作用下，由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌向下加速度a=2m/s²的勻加速運(yùn)動(dòng)，求t=2s時(shí)的外力為1N，方向沿斜面向下．
（3）在第（2）問(wèn)中，金屬桿N運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也給金屬桿M向左的初速度v₁=4m/s，求當(dāng)金屬桿M停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬桿N沿OD下滑的距離為0.64m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵在于第三問(wèn)，N桿勻加速直線運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，給M桿一個(gè)初速度，M受向下的安培力增大，加速度增大，M做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，求出加速度的平均值，從而得到其停止的時(shí)間，再對(duì)N桿而言，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式就能求出在這段時(shí)間內(nèi)的位移．