Question

9．如圖甲所示，光滑的平行長直金屬導軌置于水平面內，間距為L、導軌左端接有阻值為R的電阻，質量為m的導體棒垂直跨接在導軌上．導軌和導體棒的電阻均不計，且接觸良好．在導軌平面上有一矩形區(qū)域內存在著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B．開始時，導體棒靜止于磁場區(qū)域的右端，當磁場以速度v₁勻速向右移動時，導體棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度，此時導體棒仍處于磁場區(qū)域內．
（1）求導體棒所達到的恒定速度v₂；
（2）為使導體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？
（3）若t=0時磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，經過較短時間后，導體棒也做勻加速直線運動，其v-t關系如圖乙所示，已知在時刻t導體棒瞬時速度大小為v_t，求導體棒做勻加速直線運動時的加速度大�。�
（4）根據(jù)第（3）小題的條件，求導體棒開始運動時，磁場已移動的距離△x．

Answer 1

分析 （1）先由切割產生的感應電動勢公式、歐姆定律和安培力公式，得到安培力與棒的速度關系表達式，由平衡關系可求得穩(wěn)定速度；
（2）根據(jù)最大安培力與阻力相等求出阻力的最大值；
（3）由安培力與棒的速度關系表達式，對導體棒受力分析，由牛頓第二定律列式，即可求解加速度．
（4）根據(jù)導體棒開始運動時，安培力等于阻力求出此時的速度，抓住導體棒加速度和磁場加速度相等，結合速度位移公式求出磁場移動的距離．

解答 解：（1）導體棒所達到的恒定速度v₂時，感應電動勢為：E=BL（v₁-v₂），
則感應電流為：I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，
導體棒所受的安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$，
由于速度恒定時，則有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$=f，
解得：v₂=${v}_{1}-\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）為使導體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過所受的最大安培力，即導體棒不動時，安培力最大為：
${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$，
解得阻力的最大值為：
f=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）導體棒做勻加速直線運動，則$ma=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}-f$，必有v₁-v₂為常數(shù)，設為△v，則：
$a=\frac{△v+{v}_{t}}{t}$，
則：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（at-{v}_{t}）}{R}-f=ma$，解得a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}vt+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．
（4）導體棒做勻加速運動時受到的合力是定值，它切割磁感線產生的感應電動勢、感應電流是一定的，說明導體棒與磁場的速度差是一定的，即導體棒做與磁場加速度相等的勻加速直線運動，
當導體棒開始運動時，安培力等于阻力，有：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}=f$
解得：v=$\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
則此時磁場已移動的距離為：△x=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{f}^{2}{R}^{2}（{B}^{2}{L}^{2}t-mR）}{{2B}^{4}{L}^{4}（{B}^{2}{L}^{2}vt+fR）}$．
答：（1）導體棒所達到的恒定速度為${v}_{1}-\frac{fR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）為使導體棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（3）導體棒做勻加速直線運動時的加速度大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}vt+fR}{{B}^{2}{L}^{2}t-mR}$．
（4）導體棒開始運動時，磁場已移動的距離△x為$\frac{{f}^{2}{R}^{2}（{B}^{2}{L}^{2}t-mR）}{{2B}^{4}{L}^{4}（{B}^{2}{L}^{2}vt+fR）}$．

點評 由于磁場運動使得穿過回路的磁通量發(fā)生變化，回路中產生感應電流，導體棒受到安培力從而開始沿磁場運動方向做加速運動，需要注意的是使電路產生感應電動勢的速度v₂，不是導體棒的速度而是導體棒相對于磁場運動的速度，即兩者速度之差v₁-v₂，這是解決本題的關鍵所在．