Question

如圖所示為我國(guó)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”從發(fā)射到進(jìn)入月球工作軌道的過(guò)程示意圖．在發(fā)射過(guò)程中，經(jīng)過(guò)一系列的加速和變軌，衛(wèi)星沿繞地球“48小時(shí)軌道”在抵達(dá)近地點(diǎn)P時(shí)，主發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”的速度在很短時(shí)間內(nèi)由v₁提高到v₂，進(jìn)入“地月轉(zhuǎn)移軌道”，開(kāi)始了從地球向月球的飛越．“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在“地月轉(zhuǎn)移軌道”上經(jīng)過(guò)114小時(shí)飛行到達(dá)近月點(diǎn)Q時(shí)，需要及時(shí)制動(dòng)，使其成為月球衛(wèi)星．之后，又在繞月球軌道上的近月點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)兩次制動(dòng)，最終進(jìn)入繞月球的圓形工作軌道I．已知“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”質(zhì)量為m₀，在繞月球的圓形工作軌道I上運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，月球的半徑r_月，月球的質(zhì)量為m_月，萬(wàn)有引力恒量為G．
（1）求衛(wèi)星從“48小時(shí)軌道”的近地點(diǎn)P進(jìn)入“地月轉(zhuǎn)移軌道”過(guò)程中主發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”做的功（不計(jì)地球引力做功和衛(wèi)星質(zhì)量變化）；
（2）求“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在繞月球圓形工作軌道?運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度；
（3）理論證明，質(zhì)量為m的物體由距月球無(wú)限遠(yuǎn)處無(wú)初速釋放，它在月球引力的作用下運(yùn)動(dòng)至距月球中心為r處的過(guò)程中，月球引力對(duì)物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)Q進(jìn)行第一次制動(dòng)后能成為月球的衛(wèi)星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進(jìn)入圓形工作軌道，其第一次制動(dòng)后的速度大小應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，主發(fā)動(dòng)機(jī)在嫦娥一號(hào)衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道過(guò)程中對(duì)衛(wèi)星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

，化簡(jiǎn)即可算出h．
（3）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后，在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)的速度為u₁，則u1=

2π(r月+h)

T

，代入上面h的值，化簡(jiǎn)可達(dá)到u₁．
設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在通過(guò)近月點(diǎn)脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0，可解得u₂．
所以，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后的速度u應(yīng)滿足的條件是：u₁＜u＜u₂．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，主發(fā)動(dòng)機(jī)在嫦娥一號(hào)衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道過(guò)程中對(duì)衛(wèi)星做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12
（2）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度為h，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和向心力公式有
G

m月m0

(r月+h)2

=m0(r月+h)

4π2

T2

解得：h=

3	Gm月T2 4π2

-r月
（3）設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后，在圓軌道?上運(yùn)動(dòng)的速度為u₁，則
u1=

2π(r月+h)

T

解得：u1=

3	2πGm月 T

設(shè)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在通過(guò)近月點(diǎn)脫離月球引力束縛飛離月球的速度為u₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

1

2

m0u22-G

m月m0

r月+h

=0
解得：u2=

2

3	2πGm月 T

所以，“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)進(jìn)行第一次制動(dòng)后的速度u應(yīng)滿足的條件是：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

答：（1）衛(wèi)星從“48小時(shí)軌道”的近地點(diǎn)P進(jìn)入“地月轉(zhuǎn)移軌道”過(guò)程中主發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”做的功W=

1

2

m0v22-

1

2

m0v12．
（2）“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在繞月球圓形工作軌道?運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面的高度h=

3	Gm月T2 4π2

-r月．
（3）理論證明，質(zhì)量為m的物體由距月球無(wú)限遠(yuǎn)處無(wú)初速釋放，它在月球引力的作用下運(yùn)動(dòng)至距月球中心為r處的過(guò)程中，月球引力對(duì)物體所做的功可表示為W=Gm_月m/r．為使“嫦娥一號(hào)衛(wèi)星”在近月點(diǎn)Q進(jìn)行第一次制動(dòng)后能成為月球的衛(wèi)星，且與月球表面的距離不小于圓形工作軌道?的高度，最終進(jìn)入圓形工作軌道，其第一次制動(dòng)后的速度大小應(yīng)滿足：

3	2πGm月 T

＜u＜

2

3	2πGm月 T

．

點(diǎn)評(píng)：抓住解題的關(guān)鍵，（1）地球表面萬(wàn)有引力等于重力，（2）萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．外力對(duì)外星做的功等于衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中的動(dòng)能的變化．