Question

12．如圖所示，在xOy平面的第三象限內(nèi)，在平行于x軸的虛線(xiàn)與x軸之間有平行于x軸、方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，虛線(xiàn)交y軸于C點(diǎn)，其他部分有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為$B=\sqrt{\frac{mE}{qL}}$，虛線(xiàn)上坐標(biāo)為（-2L，-L）處有一粒子源，可以沿y軸正方向發(fā)射不同速率的同種粒子，粒子的電荷量為q（q＞0），質(zhì)量為m，不計(jì)粒子的重力．
（1）若粒子源發(fā)出的所有粒子均能從OC間射出電場(chǎng)，求粒子的速度范圍；
（2）求在第（1）問(wèn)中，所有粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，再通過(guò)y軸的區(qū)域的長(zhǎng)度；
（3）若某個(gè)粒子的速度較大，該粒子從（-1.5L，O）點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，求該粒子從出電場(chǎng)到再次進(jìn)入電場(chǎng)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，求出粒子的最大速度，然后確定其速度范圍．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后求出區(qū)域的長(zhǎng)度．
（3）分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)粒子周期公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子剛好能從OC間進(jìn)入磁場(chǎng)，則速度最大的粒子剛好從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，該粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
則：L=v₀t，2L=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，解得，粒子最大速度：v₀=$\sqrt{\frac{qEL}{4m}}$，粒子的速度范圍：0≤v₀≤$\sqrt{\frac{qEL}{4m}}$；
（2）從OC間射出進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子射出電場(chǎng)時(shí)的偏向角為θ，
粒子沿電場(chǎng)方向的分速度：v_x=$\sqrt{2×\frac{qE}{m}×2L}$=2$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$，
粒子的速度：v=$\frac{{v}_{x}}{sinθ}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$，
粒子從出電場(chǎng)的位置與在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)第一次經(jīng)過(guò)y軸的位置間的距離為：△y=2r₁sinθ=$\frac{4}{B}$$\sqrt{\frac{mEL}{q}}$，
即所有湊從OC間射出進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子出電場(chǎng)的位置與在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)第一次經(jīng)過(guò)y軸的位置間的距離為一定值，
因此所有粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后再次經(jīng)過(guò)y軸的區(qū)域的長(zhǎng)度等于OC的長(zhǎng)，即為L(zhǎng)．
（3）若粒子從（-1.5L，0）點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的速度為v₂，
由于粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，因此出電場(chǎng)時(shí)的速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸方向位移的中點(diǎn)，
即出電場(chǎng)時(shí)的速度方向與y軸正方向成45°角，v_x′=$\sqrt{2×\frac{qE}{m}×\frac{L}{2}}$=$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$，
粒子出電場(chǎng)時(shí)的速度：v₂=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，
由牛頓第二定律得：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：r₂=$\sqrt{2}$L，
由幾何知識(shí)得，圓心在（-0.5L，-L）處，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ=315°，粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是周期的$\frac{7}{8}$，
則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{7}{8}$T=$\frac{7}{8}$$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{7π}{4}$$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$；
答：（1）若粒子源發(fā)出的所有粒子均能從OC間射出電場(chǎng)，粒子的速度范圍是：0≤v₀≤$\sqrt{\frac{qEL}{4m}}$；
（2）在第（1）問(wèn)中，所有粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，再通過(guò)y軸的區(qū)域的長(zhǎng)度為L(zhǎng)；
（3）若某個(gè)粒子的速度較大，該粒子從（-1.5L，O）點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，該粒子從出電場(chǎng)到再次進(jìn)入電場(chǎng)所用的時(shí)間為$\frac{7π}{4}$$\sqrt{\frac{mL}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與牛頓第二定律可以解題；帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意分析過(guò)程，并結(jié)合各過(guò)程中涉及到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解．