Question

（2010?奉賢區(qū)一模）如圖甲所示，M、N是水平放置的一對(duì)金屬板，其中M板中央有一個(gè)小孔O，兩極板加一電壓U．AB是一長4L的輕質(zhì)絕緣細(xì)桿，在桿上等間距為L地固定著5個(gè)完全相同的帶正電小球，每個(gè)小球的電荷量為q、質(zhì)量為m．現(xiàn)將最下端小球置于O處，然后將AB由靜止釋放，AB在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持豎直．當(dāng)極板電壓為U₀時(shí)，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)，在第2個(gè)小球進(jìn)入電場到第3個(gè)小球進(jìn)入電場這一過程中AB做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩金屬板間距足夠大，求：
（1）兩板間電場強(qiáng)度E； 
（2）上述勻速運(yùn)動(dòng)過程中速度的大小v₁；
（3）第4個(gè)小球在O處時(shí)速度的大小v₂
（4）設(shè)第1個(gè)小球進(jìn)入電場到第2個(gè)進(jìn)入電場經(jīng)歷的時(shí)間為t₀，為了讓第2個(gè)小球進(jìn)入電場起AB一直做勻速運(yùn)動(dòng)，則電壓U隨時(shí)間t如何變化？請?jiān)趫D乙中畫出．

Answer 1

分析：（1）由題，在第2個(gè)小球進(jìn)入電場到第3個(gè)小球進(jìn)入電場的過程中AB做勻速運(yùn)動(dòng)，電場力與重力平衡，則可由平衡條件求出電場強(qiáng)度E．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理研究第1個(gè)小球進(jìn)入電場的過程，可得勻速運(yùn)動(dòng)過程中速度的大小v₁；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理研究第3個(gè)小球進(jìn)入電場的過程，可得第4個(gè)小球在O處時(shí)速度的大小v₂；
（4）為了讓第2個(gè)小球進(jìn)入電場起AB一直做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件分別研究各個(gè)小球進(jìn)入電場時(shí)板間電壓，作出圖象．

解答：解：（1）據(jù)題，在第2個(gè)小球進(jìn)入電場到第3個(gè)小球進(jìn)入電場的過程中AB做勻速運(yùn)動(dòng)，電場力與重力平衡，則有
   2qE=5mg，得：E=

5mg

2q

（2）研究第1個(gè)小球進(jìn)入電場的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
  5mgL-qEL=

5

2

mv₁²  解得：v₁=

gL

（3）研究第3個(gè)小球進(jìn)入電場的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得
5mg?3L-3qEL-2qEL-qEL=

5

2

mv₂²  
將E=

5mg

2q

代入，得：v₂=0
（4）第1個(gè)小球進(jìn)入電場到第2個(gè)進(jìn)入電場，AB做勻加速運(yùn)動(dòng)，為了讓第2個(gè)小球進(jìn)入電場起AB一直做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)每通過L位移的時(shí)間為t，則有
     L=

v1

2

t0，L=v₁t，則得：t=2t₀．
第2個(gè)小球進(jìn)入電場時(shí)，有：
  5mg=2q

U0

d

…①
要使AB做勻速運(yùn)動(dòng)，第3個(gè)小球進(jìn)入電場時(shí)
    5mg=3q

U3

d

…②
第4個(gè)進(jìn)入小球電場時(shí)
    5mg=4q

U4

d

…③
第5個(gè)進(jìn)入小球電場時(shí)
    5mg=5q

U5

d

…④
將②③④式與①式相比較，得到
   U3=

2

3

U0，U4=

1

2

U0，U5=

2

5

U0
作出圖象如右圖．（圖象最后兩段數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的是

1

2

U₀和

2

5

U₀．
答：（1）兩板間電場強(qiáng)度E為

5mg

2q

；
（2）上述勻速運(yùn)動(dòng)過程中速度的大小v₁為

gL

．
（3）第4個(gè)小球在O處時(shí)速度的大小v₂為0．
（4）電壓U隨時(shí)間t的圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電體在電場中運(yùn)動(dòng)的問題，要有耐心，足夠的細(xì)心分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，按程序法進(jìn)行研究．